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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Mi 31.08.2016 | | Autor: | merrie |
| Aufgabe | Das nichtlineare GL-System
e^-x=e^-y+0.9
x⋅e^−y⋅e^-y=0
hat genau eine LSG. Bestimmen Sie diese näherungsweise mit dem Newton-Verfharen. Führen Sie bei Ihrer Rechnung mind. 6 Nachkommastellen mit und beenden Sie die Iteration, wenn sich die vierte Nachkommastelle nicht mehr ändert. |
Hallo zusammen,
folgende Aufgabe zerbricht mir den Kopf:
e^-x=e^-y+0.9
x⋅e^−y⋅e^-y=0
hat genau eine LSG. Bestimme diese mit Newton.
Mein Vorgehen bisher:
f1(x,y)=e^-x−e^-y−0.9
f2(x,y)=x⋅e^-x−y⋅e^-y
Jacobi-Matrix =
11:−e^-x 12:e^-y
21:e^−x⋅(1−x)22:−e^−y⋅(1−y)
Determinante: e^−x⋅e^−y⋅(x−y)
Inverse Jacobi-Matrix
11:−1/(e^−y⋅(x−y))
12:1/(e^−x⋅(x−y))
21:(1−x)/(e^−y⋅(x−y))
22:−(1−y)/(e^−x⋅(x−y))
Nach ein paar Iterationsschritten bin ich schon im Tausender-Bereich und bekomme keine Näherungs-LSG. Hab auch mit ln gerechnet, leider erfolglos:
f1(x,y):
e^−x=e^−y+0.9→⋅ln
−x=ln(e^−y+0.9)
f2(x,y):
x⋅e^-x=y⋅e^-y→⋅ln
ln(x⋅e^−x)=ln(y⋅e^−y)
ln(x)+ln(e^−x)=ln(y)+ln(e^−y)
ln(x)+(−x)=ln(y)+(−y)
Für die Jacobi-Matrix muss ich f1(x,y) und f2(x,y) jew. ableiten, das ergibt:
Jf11=1→Jf12=−(e^−y)/(e^−y+0.9)
Jf21=1/x−1→Jf22=1−1/y
Daraus det und inverse Jacobi bestimmen und wieder rechnen. aber es kommen groooße Zahlen raus und nicht die laut einem schlauen Programm herausgegebene LSG 0,083814786/3,9321459493).
Kann mir jemand helfen? Ich sehe meine(n) Fehler nicht.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Nichtlineares-Gleichungssystem-LSG-mit-Newton
lieben Dank
marina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Do 01.09.2016 | | Autor: | meili |
Hallo marina,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Das nichtlineare GL-System
> e^-x=e^-y+0.9
> x⋅e^−y⋅e^-y=0
> hat genau eine LSG. Bestimmen Sie diese näherungsweise
> mit dem Newton-Verfharen. Führen Sie bei Ihrer Rechnung
> mind. 6 Nachkommastellen mit und beenden Sie die Iteration,
> wenn sich die vierte Nachkommastelle nicht mehr ändert.
> Hallo zusammen,
>
> folgende Aufgabe zerbricht mir den Kopf:
mit den Eingabehilfen zu Formeln lässt es sich besser lesen
und ist eindeutiger:
> [mm] $e^{-x}=e^{-y}+0.9$
[/mm]
> [mm] $x⋅e^{-y}⋅e^{-y}=0$
[/mm]
aber ich bin mir nicht sicher, ob ein Tippfehler dabei ist, da unten bei
[mm] $f_2(x,y)$ [/mm] etwas anderes steht.
>
> hat genau eine LSG. Bestimme diese mit Newton.
>
> Mein Vorgehen bisher:
>
> f1(x,y)=e^-x−e^-y−0.9
> f2(x,y)=x⋅e^-x−y⋅e^-y
> Jacobi-Matrix =
> 11:−e^-x 12:e^-y
> 21:e^−x⋅(1−x)22:−e^−y⋅(1−y)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Determinante: e^−x⋅e^−y⋅(x−y)
Jetzt habe ich leider keine Zeit, das weiter nachzuvollziehen.
>
> Inverse Jacobi-Matrix
> 11:−1/(e^−y⋅(x−y))
> 12:1/(e^−x⋅(x−y))
> 21:(1−x)/(e^−y⋅(x−y))
> 22:−(1−y)/(e^−x⋅(x−y))
>
> Nach ein paar Iterationsschritten bin ich schon im
> Tausender-Bereich und bekomme keine Näherungs-LSG. Hab
> auch mit ln gerechnet, leider erfolglos:
> f1(x,y):
> e^−x=e^−y+0.9→⋅ln
> −x=ln(e^−y+0.9)
>
> f2(x,y):
> x⋅e^-x=y⋅e^-y→⋅ln
> ln(x⋅e^−x)=ln(y⋅e^−y)
> ln(x)+ln(e^−x)=ln(y)+ln(e^−y)
> ln(x)+(−x)=ln(y)+(−y)
>
> Für die Jacobi-Matrix muss ich f1(x,y) und f2(x,y) jew.
> ableiten, das ergibt:
> Jf11=1→Jf12=−(e^−y)/(e^−y+0.9)
> Jf21=1/x−1→Jf22=1−1/y
>
> Daraus det und inverse Jacobi bestimmen und wieder rechnen.
> aber es kommen groooße Zahlen raus und nicht die laut
> einem schlauen Programm herausgegebene LSG
> 0,083814786/3,9321459493).
>
> Kann mir jemand helfen? Ich sehe meine(n) Fehler nicht.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Nichtlineares-Gleichungssystem-LSG-mit-Newton
>
> lieben Dank
> marina
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Do 01.09.2016 | | Autor: | chrisno |
[mm] $e^{−x} =e^{−y}+0.9$
[/mm]
[mm] $x⋅e^{−x}$ [/mm] − [mm] $y⋅e^{−y}=0$
[/mm]
vermute ich als korrekte Darstellung des Gleichungssystems.
(Der Formeleditor schluckt das Minuszeichen in der zweiten Gleichung.)
Ob das Newton-Verfahren konvergiert, hängt durchaus auch von den Startwerten ab. Hast Du es einmal mit Startwerten in der Nähe des Ziels probiert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Do 01.09.2016 | | Autor: | meili |
Hallo marina,
> Das nichtlineare GL-System
> e^-x=e^-y+0.9
> x⋅e^−y⋅e^-y=0
> hat genau eine LSG. Bestimmen Sie diese näherungsweise
> mit dem Newton-Verfharen. Führen Sie bei Ihrer Rechnung
> mind. 6 Nachkommastellen mit und beenden Sie die Iteration,
> wenn sich die vierte Nachkommastelle nicht mehr ändert.
> Hallo zusammen,
>
> folgende Aufgabe zerbricht mir den Kopf:
> e^-x=e^-y+0.9
> x⋅e^−y⋅e^-y=0
>
> hat genau eine LSG. Bestimme diese mit Newton.
>
> Mein Vorgehen bisher:
>
> f1(x,y)=e^-x−e^-y−0.9
> f2(x,y)=x⋅e^-x−y⋅e^-y
> Jacobi-Matrix =
> 11:−e^-x 12:e^-y
> 21:e^−x⋅(1−x)22:−e^−y⋅(1−y)
>
> Determinante: e^−x⋅e^−y⋅(x−y)
>
> Inverse Jacobi-Matrix
> 11:−1/(e^−y⋅(x−y))
> 12:1/(e^−x⋅(x−y))
> 21:(1−x)/(e^−y⋅(x−y))
> 22:−(1−y)/(e^−x⋅(x−y))
Wenn man die obige Jacobi-Matrix und diese inverse Jacobi-Matrix
multipliziert, ergibt es keine Einheitsmatrix.
Für die Inverse Jacobi-Matrix komme ich auf:
[mm] $\pmat{\bruch{e^x(1-y)}{y-x} & \bruch{e^x}{y-x} \\ \bruch{e^y(1-x)}{y-x} & \bruch{e^y}{y-x} }$
[/mm]
>
> Nach ein paar Iterationsschritten bin ich schon im
> Tausender-Bereich und bekomme keine Näherungs-LSG. Hab
> auch mit ln gerechnet, leider erfolglos:
> f1(x,y):
> e^−x=e^−y+0.9→⋅ln
> −x=ln(e^−y+0.9)
>
> f2(x,y):
> x⋅e^-x=y⋅e^-y→⋅ln
> ln(x⋅e^−x)=ln(y⋅e^−y)
> ln(x)+ln(e^−x)=ln(y)+ln(e^−y)
> ln(x)+(−x)=ln(y)+(−y)
>
> Für die Jacobi-Matrix muss ich f1(x,y) und f2(x,y) jew.
> ableiten, das ergibt:
> Jf11=1→Jf12=−(e^−y)/(e^−y+0.9)
> Jf21=1/x−1→Jf22=1−1/y
>
> Daraus det und inverse Jacobi bestimmen und wieder rechnen.
> aber es kommen groooße Zahlen raus und nicht die laut
> einem schlauen Programm herausgegebene LSG
> 0,083814786/3,9321459493).
>
> Kann mir jemand helfen? Ich sehe meine(n) Fehler nicht.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Nichtlineares-Gleichungssystem-LSG-mit-Newton
>
> lieben Dank
> marina
Gruß
meili
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