Nicht-normale Matrix finden < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Finden Sie eine Matrix A [mm] \in \IC^{2x2} [/mm] mit A = [mm] A^{T} [/mm] , aber A ist nicht normal. |
Hallo Leute,
ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen und komm einfach nicht auf die Matrix.
Laut Definition bedeutet normal ja [mm] A^{*}A [/mm] = [mm] AA^{*}. [/mm] Da ja A = [mm] A^{T} [/mm] gelten soll, nehme ich an, dass jeweils [mm] a_{12} [/mm] und [mm] a_{21} [/mm] die gleiche Zahl sein muss.
Irgendwie finde ich aber keine Matrix, bei der das klappt. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen :(
Grüße,
cupcake123
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
wenn icch das richtig verstehe muss die Matrix eine komplexe hermitesche Matrix sein, falls [mm] A^T=A [/mm] gelten soll und die Matrix normal sein soll.
Eine Matrix ist genau dann hermetisch, falls ihre Transponierte gleich ihrer komplex Konjugierten ist [mm] (A^T=\overline{A}).
[/mm]
Angenommen [mm] A=\pmat{ 2-i & 3 \\ 3 & 3+i } [/mm] dann ist [mm] A^T=A [/mm] aber [mm] \pmat{ 2-i & 3 \\ 3 & 3+i }\neq \pmat{ 2+i & 3 \\ 3 & 3-i }.
[/mm]
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Hallo Reduktion,
erstmal vielen Dank für deine Antwort.
> Hallo,
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> wenn icch das richtig verstehe muss die Matrix eine
> komplexe hermitesche Matrix sein, falls [mm]A^T=A[/mm] gelten soll
> und die Matrix normal sein soll.
Die Matrix soll NICHT normal sein
>
> Eine Matrix ist genau dann hermetisch, falls ihre
> Transponierte gleich ihrer komplex Konjugierten ist
> [mm](A^T=\overline{A}).[/mm]
>
> Angenommen [mm]A=\pmat{ 2-i & 3 \\ 3 & 3+i }[/mm] dann ist [mm]A^T=A[/mm]
> aber [mm]\pmat{ 2-i & 3 \\ 3 & 3+i }\neq \pmat{ 2+i & 3 \\ 3 & 3-i }.[/mm]
>
Leider bin ich mir bei deiner Lösung nicht ganz sicher. Es klingt zwar alles ganz logisch und so, aber ich glaube das wäre viel zu einfach :D
ich dachte eher daran, dass ich eine Matrix A finden soll für die gilt A = [mm] A^{T} [/mm] und A* [mm] A^{T} \not= A^{T}*A [/mm]
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>Die Matrix soll NICHT normal sein
So meinte ich das ja auch, das die Matrix nicht mehr normal ist wenn sie nicht mehr hermetisch ist.
>Leider bin ich mir bei deiner Lösung nicht ganz sicher.
Du hast recht ich habe da eine hermetische Matrix angegeben, sorry. Denn [mm] \overline{A}^T [/mm] ist gleich der Matrix [mm] \overline{A^T} [/mm] und das bedeutet sie ist hermetisch.
Ich dachte mir fall man eine nicht hermetische Matirx findet für die gilt [mm] A=A^T, [/mm] dann hat man eine Matrix A gefunden die nicht normal ist.
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Da bleibt bei mir immernoch die Frage offen, wie finde ich diese Matrix :)
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Hallo,
> Da bleibt bei mir immernoch die Frage offen, wie finde ich
> diese Matrix :)
Naja ich weiss nicht ob es ein Verfahren dafür gibt, aber ich behaupte mal das man
ziemlich schnell eine findet indem man ein Paar Matrizen ausprobiert.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Di 21.05.2013 | | Autor: | helicopter |
Guten Abend,
> >Die Matrix soll NICHT normal sein
>
> So meinte ich das ja auch, das die Matrix nicht mehr normal
> ist wenn sie nicht mehr hermetisch ist.
Bist du dir da sicher?
Eine hermetische Matrix ist normal, aber gilt auch die Umkehrung?
Eine Unitäre Matrix ist nicht hermetisch, aber auf jeden Fall normal, oder übersehe ich da etwas?
> >Leider bin ich mir bei deiner Lösung nicht ganz sicher.
>
> Du hast recht ich habe da eine hermetische Matrix
> angegeben, sorry. Denn [mm]\overline{A}^T[/mm] ist gleich der Matrix
> [mm]\overline{A^T}[/mm] und das bedeutet sie ist hermetisch.
>
> Ich dachte mir fall man eine nicht hermetische Matirx
> findet für die gilt [mm]A=A^T,[/mm] dann hat man eine Matrix A
> gefunden die nicht normal ist.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:33 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Reduktion |
Hi,
stimmt jede komplexe hermitesche Matrix normal, aber aus nicht hermitisch folgt nicht nicht normal.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:20 Mi 22.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Was macht Ihr da für ein Gedöns ?
Man macht den Ansatz [mm] A=\pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] mit a,b, c [mm] \in \IC
[/mm]
Dann hat man schon mal [mm] A=A^T.
[/mm]
Nun berchnet man die Produkte [mm] AA^{\star} [/mm] und [mm] A^{\star}A.
[/mm]
Dann bekommt man viele Möglichkeiten für den Fall
[mm] AA^{\star} \ne A^{\star}A.
[/mm]
Z.B. a=i,b=1 und c=0.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Reduktion |
Hi fred,
ich habe da noch eine Frage, ist mit [mm] A^\ast [/mm] die Transponierte der komplex kojungierten gemeint [mm] \overline{A}^T [/mm] gemeint? Wenn ja, dann würde doch für [mm] A=\pmat{ 2-i & 3 \\ 3 & 3+i } [/mm] gelten [mm] A=A^T [/mm] und [mm] $A\overline{A}^T\neq \overline{A}^T [/mm] A$?
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