Nicht-triviale Lösung eines LG < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Kyanin |
| Aufgabe | Für welche Werte für a lässt sich dieses System auch nicht-trivial lösen?
(a+1)x+y=0
x+(a+1)y=0 |
Guten Tag,
im Prinzip glaube ich die Lösung dieser Aufgabe schon zu kennen (a={-2; 0}), was mir noch fehlt ist das Verständnis der mathematischen Begründung. Meine Herangehensweise war (neben simplem ausprobieren), eine Determinantengleichung aufzustellen, nullzusetzen und so Zahlen zu ermitteln, für die das LGS unendlich Lösungen hat.
Reicht das? Bzw., kann ich damit sicher sein, dass keine weiteren a existieren, die nichttriviale Lösungen liefern?
Gruß,
Kyanin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für welche Werte für a lässt sich dieses System auch
> nicht-trivial lösen?
> (a+1)x+y=0
> x+(a+1)y=0
> Guten Tag,
> im Prinzip glaube ich die Lösung dieser Aufgabe schon zu
> kennen (a={-2; 0}),
Das stimmt. Korrekt lautet es aber so: $a [mm] \in \{-2,0\}$
[/mm]
> was mir noch fehlt ist das Verständnis
> der mathematischen Begründung. Meine Herangehensweise war
> (neben simplem ausprobieren), eine Determinantengleichung
> aufzustellen, nullzusetzen und so Zahlen zu ermitteln, für
> die das LGS unendlich Lösungen hat.
>
> Reicht das?
Das hängt davon ab, was Ihr in der Vorlesungen hattet und verwenden dürft.
> Bzw., kann ich damit sicher sein, dass keine
> weiteren a existieren, die nichttriviale Lösungen
> liefern?
Ja.
Du kannt aber auch zu Fuß zu den obigen a's kommen:
Löse die 1. Gleichung nach y auf und setze in die 2. Gleichung ein. Das liefert:
$x=(a+1)^2x.$
Sei x [mm] \ne [/mm] 0. Dann ist [mm] $(a+1)^2=1$, [/mm] also a=0 oder a=-2.
Fall 1: a=0. Dann erhalten wir aus den Gleichungen: x=-y.
D.h. jedes Paar (u,-u) (u [mm] \in \IR) [/mm] ist Lösung des Gl.-Systems.
Fall 2: a=-2. Dann erhalten wir aus den Gleichungen: x=y.
D.h. jedes Paar (u,u) (u [mm] \in \IR) [/mm] ist Lösung des Gl.-Systems.
Fazit:
A) ist a=0, so ist die Lösungsmenge des LGS:
[mm] \{(u,-u): u \in \IR\}.
[/mm]
B) ist a=-2, so ist die Lösungsmenge des LGS:
[mm] \{(u,u): u \in \IR\}.
[/mm]
C) ist [mm] a\ne [/mm] 0 und a [mm] \ne [/mm] 2, so ist die Lösungsmenge des LGS:
[mm] \{(0,0)\}.
[/mm]
FRED
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> Gruß,
> Kyanin
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Fr 14.02.2014 | | Autor: | Kyanin |
Vielen Dank!
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