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| Aufgabe | Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem
[mm] f(x_1 [/mm] , [mm] x_2)=\vektor{x_2 e^{x_1} -2 \\ x_1^2 + x_2 -4}=0
[/mm]
Durch Elimination von [mm] x_2 [/mm] führe man diese Aufgabe auf die Bestimmung der Schnittpunkte zweier Funktionen in einer unabhängigen Variablen zurück:
[mm] 2*e^{-x_1}=4 [/mm] - [mm] x_1^2
[/mm]
Man rechnet eine Approximation der Lösung > 99,9% Genauigkeit (d.h. nicht mehr als 0,1% Fehler) mit Hilfe des
a) Bisektionsverfahrens, wobei [mm] x_0=2 [/mm] und [mm] x_1=1,5:
[/mm]
b) Newton-Verfahrens, wobei [mm] x_0=2
[/mm]
c) Sekantenverfahrens,wobei [mm] x_0=2 [/mm] |
Hi,
bei dieser Aufgabe habe ich so paar Fragen. Zuerst versteh ich nicht, wie die die Gleichung [mm] 2*e^{-x_1}=4 [/mm] - [mm] x_1^2 [/mm] erhalten haben???
So und a) habe ich mal probiert, weiß aber nicht, ob es dann so richtig ist.
a) Wir haben also [mm] f(x)=2*e^{-x}+x^2 [/mm] -4
Wir haben dann das Intervall [1,5;2]. So ich habe dann mal angefangen, die Intervalle zu halbieren, das ganze habe ich 9 mal gemacht. Die Intervalle sahen dann wie folgt aus:
[1,5;2]
[1,75;2]
[1,875;2]
[1,875;1,9375]
[1,90625;1,9375]
[1,921875;1,9375]
...
[1,9257;1,926675]
dabei erhalte ich mit [mm] f(1,926675)\approx [/mm] 0,00333
So, woher weiß ich jetzt eigentlich, wann ich aufhören muss mit diesen Intervallen?? denn ich könnte es ja immer so weiter machen? Hätte ich vielleicht auch schon früher aufhören können??
In der Aufgabe sagen die ja auch, ich soll es auf 99,9 % genau machen, aber woher erkenne ich, wann diese 99,9% erreicht sind??
Kann außerdem vielleicht jemand diese Lösung bestätigen??
Vielleicht erstmal bis hierher. Danke schon mal für Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jaruleking!
> Zuerst versteh ich nicht, wie die die Gleichung [mm]2*e^{-x_1}=4[/mm] - [mm]x_1^2[/mm]
> erhalten haben???
Forme beide entstehenden Gleichungen
[mm] $$x_2*e^{x_1}-2 [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$x_1^2+x_2-4 [/mm] \ = \ 0$$
nach [mm] $x_2 [/mm] \ = \ ...$ um und setze gleich.
Gruß
Loddar
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HI,
ok die erste Frage habe ich damit hinbekommen. bleibt nur noch der rest.
bei dem Newton-Verfahren dann nochmal ne Frage. Die Aufgabe wurde ja so umgefort, dass es nur noch von einer Variable abhängt. Ich weiß jetzt gerade nicht, welches Verfahren man benutzen muss:
a) [mm] x_{n+1}=x_n [/mm] - [mm] \bruch{f(x_n)}{f'(x_n)} [/mm] oder
b) [mm] x_{n+1}=x_n-f'^{-1}(x_n)f(x_n)
[/mm]
Welche Rechenvorschrift muss man hier benutzen, a) oder b)??
Grüße
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Hi auch erstmal,
> HI,
>
> ok die erste Frage habe ich damit hinbekommen. bleibt nur
> noch der rest.
>
> bei dem Newton-Verfahren dann nochmal ne Frage. Die Aufgabe
> wurde ja so umgefort, dass es nur noch von einer Variable
> abhängt. Ich weiß jetzt gerade nicht, welches Verfahren
> man benutzen muss:
>
> a) [mm]x_{n+1}=x_n[/mm] - [mm]\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm] oder
>
> b) [mm]x_{n+1}=x_n-f'^{-1}(x_n)f(x_n)[/mm]
>
> Welche Rechenvorschrift muss man hier benutzen, a) oder
> b)??
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") das ist doch beides das gleiche, da ja gilt: [mm] a^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}
[/mm]
Gruss Christian
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Ohhh ja stimmt :-//.
so, bei b) habe ich dann x=1,9257 rausbekommen, indem ich 4 Schritte gemacht habe. Denke 4 Schritte müssten ja ausreichen oder? Also ich habe bis [mm] x_4 [/mm] brechnet.
bei c) habe ich dann nur 3 Schritte gemacht und komme auf 1,9356, weicht zwar ein kleines bisschen davon ab, aber meint ihr, das reicht so schon?
ich weiß bei diesen aufgaben immer nicht, wie viel man da machen muss?
und dann wollte ich zu c) auch fragen: in der Aufgabe ist gegeben, das [mm] x_0=2 [/mm] ist und [mm] x_1=1,5. [/mm] ich habe dies bei der rechnung aber vertauscht, also [mm] x_0=1,5 x_1=2. [/mm] Ist das ok? Weil sonst hat es für mich keinen sinn ergeben.
gruß
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Hallo nochmal,
der relative Fehler bezieht sich ja auf den exakten Wert der Lösung, dummerweise ist gerade der ja nicht bekannt. Nun könntest du z.B. schauen, um wie viel sich die neue Näherung [mm] x_{k+1} [/mm] von der alten Näherung [mm] x_{x} [/mm] unterscheidet, als Bezugsgröße verwende die neue Näherung [mm] x_{k+1}. [/mm] Also prüfst du ob [mm] \bruch{|x_{k} - x_{k+1}|}{|x_{k+1}|} [/mm] < max. relativer Fehler
Ist er kleiner fertig, wenn nicht noch ein Schritt...
Das mit den Startwerten sollte eigentlich egal sein, solange beide aus einem geeigneten Intervall kommen, führt es zur Lösung.
Gruss Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> In der Aufgabe sagen die ja auch, ich soll es auf 99,9 %
> genau machen, aber woher erkenne ich, wann diese 99,9%
> erreicht sind??
Ich würde sagen überhaupt nicht. Weil eine Prozentangabe ohne Grundgröße sinnlos ist. 99.9% von was?
Normalerweise will man eine absolute Genauigkeit (z.B. [mm] $|\hat [/mm] x - x| < 0.001$, wobei x die Nullstelle und [mm] $\hat [/mm] x$ der approximative Wert ist), und da sieht man ja bei jeder Funktionsauswertung, ob sie das erfüllt.
> Kann außerdem vielleicht jemand diese Lösung
> bestätigen??
Für eine geeignete Wahl von 100% ist Deine Lösung auf jeden Fall zu 99.9% genau. Wenn's doch $0.001 = 0.1%$ sein sollte, dann bist Du noch um Faktor 3 daneben.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Sa 01.05.2010 | | Autor: | jaruleking |
Also das mit dem Prozent habe ich auch nicht so richtig verstanden, aber es steht wirklich so in der Aufgabe....
gruß
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