Nicht Surjektive Abbildung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Di 19.10.2010 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | | Es sei M eine nichtleere Menge und P(M) die Menge aller Teilmengen von M. Man zeige, dass es keine surjektive Abbildung von M nach P(M) gibt. |
Hi Leute,
das ist die erste Aufgabe dieser Art, die ich mache und ich verstehe nicht ganz wie ich das angehen soll. Also ich habe erstmal versucht mir klar zu machen, was überhaupt der Text bedeutet.
Nicht surjektiv bedeutet ja, dass es zw. den Funktionswerten Lücken geben muss.
Wie ich den Text verstehe muss die Abbildung von M nach P(M) surjektiv sein.
Funktioniert das mit einem indirekten bzw. Widerspruchsbeweis?
LG
Lilli
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Hallo LiliMa,
> Es sei M eine nichtleere Menge und P(M) die Menge aller
> Teilmengen von M. Man zeige, dass es keine surjektive
> Abbildung von M nach P(M) gibt.
> Hi Leute,
>
> das ist die erste Aufgabe dieser Art, die ich mache und ich
> verstehe nicht ganz wie ich das angehen soll. Also ich habe
> erstmal versucht mir klar zu machen, was überhaupt der
> Text bedeutet.
>
> Nicht surjektiv bedeutet ja, dass es zw. den
> Funktionswerten Lücken geben muss.
Was soll das heißen?
Schreibe mathematisch auf, was surjektiv bedeutet, schaue dir die Definition an!
>
> Wie ich den Text verstehe muss die Abbildung von M nach
> P(M) surjektiv sein.
Nein, du sollst doch zeigen, dass es zu einer beliebigen nichtleeren Menge M keine surj. Abb. [mm]f:M\to\mathcal{P}(M)[/mm] gibt!
>
> Funktioniert das mit einem indirekten bzw.
> Widerspruchsbeweis?
Ganz recht! Nimm an, [mm]M\neq\emptyset[/mm] und weiter, dass es eine surj. Abb. [mm]f:M\to\mathcal{P}(M)[/mm] gäbe!
Führe diese Annahme zu einem Widerspruch! Dann ist die Ann. falsch und es gibt keine solche surj. Abb., was die Beh. beweist!
>
> LG
> Lilli
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Di 19.10.2010 | | Autor: | LiliMa |
Hey vielen Dank schonmal.
> Schreibe mathematisch auf, was surjektiv bedeutet, schaue
> dir die Definition an!
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X
Das habe ich jetzt verstanden. Jedem Element aus Y wird mindestens einem Element aus X zugeordnet.
> Ganz recht! Nimm an, [mm]M\neq\emptyset[/mm] und weiter, dass es
> eine surj. Abb. [mm]f:M\to\mathcal{P}(M)[/mm] gäbe!
>
> Führe diese Annahme zu einem Widerspruch! Dann ist die
> Ann. falsch und es gibt keine solche surj. Abb., was die
> Beh. beweist!
Ich habe nur leider keine Ahnung wie man das jetzt angeht. Nimmt man da dann einfach eine Beispielfunktion?
LG
Lilli
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Hallo nochmal,
> Hey vielen Dank schonmal.
>
> > Schreibe mathematisch auf, was surjektiv bedeutet, schaue
> > dir die Definition an!
>
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X
>
> Das habe ich jetzt verstanden. Jedem Element aus Y wird
> mindestens einem Element aus X zugeordnet.
>
> > Ganz recht! Nimm an, [mm]M\neq\emptyset[/mm] und weiter, dass es
> > eine surj. Abb. [mm]f:M\to\mathcal{P}(M)[/mm] gäbe!
> >
> > Führe diese Annahme zu einem Widerspruch! Dann ist die
> > Ann. falsch und es gibt keine solche surj. Abb., was die
> > Beh. beweist!
>
> Ich habe nur leider keine Ahnung wie man das jetzt angeht.
> Nimmt man da dann einfach eine Beispielfunktion?
Nein, aber schaue dir mal folgende Menge an:
[mm]N:=\{m\in M\mid m\notin f(m)\}[/mm]
Dann ist [mm]N\subset M[/mm], also [mm]N\in\mathcal{P}(M)[/mm]
Nun kommt die Surjektivität von f ins Spiel:
Da [mm]N\in\mathcal{P}(M)[/mm] ist, existiert ein [mm]n\in M[/mm] mit [mm]f(n)=N[/mm]
Nun ist doch entweder [mm]n\in N[/mm] oder [mm]n\notin N[/mm]
Beides kannst du leicht zu einem Widerspruch führen.
Grübel darüber mal nach, wie...
Gruß
schachuzipus
>
> LG
> Lilli
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Di 19.10.2010 | | Autor: | LiliMa |
Ich glaube, ich ab das gerade geblickt. Ich habe mir eine Grafik gemacht die das was du mir aufgeschrieben hast ausdrückt. Und man sieht ja jetzt im innern linken Kasten, das es da n [mm] \in [/mm] N gibt im rechten Kasten aber nicht.
Wie man das jetzt mathematisch aufschreibt weiss ich aber nicht. Bzw. wie man das jetzt als Widerspruch formuliert.
bild:http://www.abload.de/img/mengelr9b.png
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Di 19.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich glaube, dass die Skizze so besser ist :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Erkennst du, warum manche Zuordnungspfeile rot, andere blau sind ?
Welches ist die blaue Menge ?
Welche Farbe hat der Zuordnungspfeil zu dieser Menge ?
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo nochmal,
> Ich glaube, ich ab das gerade geblickt. Ich habe mir eine
> Grafik gemacht die das was du mir aufgeschrieben hast
> ausdrückt. Und man sieht ja jetzt im innern linken Kasten,
> das es da n [mm]\in[/mm] N gibt im rechten Kasten aber nicht.
>
> Wie man das jetzt mathematisch aufschreibt weiss ich aber
> nicht. Bzw. wie man das jetzt als Widerspruch formuliert.
Naja, wie gesagt, es kann ja nur gelten: entweder [mm]n\in N[/mm] oder [mm]n\notin N[/mm]
1.Fall: [mm]n\in N=f(n)\overset{Def. N}{\Rightarrow} n\notin N[/mm] Widerspruch
2.Fall: [mm]n\notin N=f(\red{n})\overset{Def. N}{\Rightarrow} n\in N[/mm] Widerspruch.
Also weder [mm]n\in N[/mm] noch [mm]n\notin N[/mm]
Da stimmt also was nicht, und zwar die Ann./Vor. --> f nicht surjektiv
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mi 20.10.2010 | | Autor: | LiliMa |
Hey danke schonmal,
Ich habe noch ein Paar fragen dazu.
Was ist der unterschied zw. f(n) unf f(N). Also ich dachte das n=f(N) ist.
Bedeutet Def. N -> definiert N?
Und dedeutet Ann. Annahme? Was ist dann Vor.?
Stell ich mich eigentlich sehr bescheuert an?
LG
Lilli
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Hallo nochmal,
> Hey danke schonmal,
>
> Ich habe noch ein Paar fragen dazu.
>
> Was ist der unterschied zw. f(n) unf f(N). Also ich dachte
> das n=f(N) ist.
Nein!
Das war ein blöder Tippfehler, n=f(N) ist ja sinnlos, gemeint ist N=f(n), ich hätte mal die Vorschaufunktion benutzen sollen, sorry
Ich editiere das gleich mal direkt!
>
> Bedeutet Def. N -> definiert N?
Das [mm]\overset{Def N}{\Rightarrow}[/mm] soll bedeuten: "folgt mit der Definition von N aus ..." (dem, was vor dem Pfeil steht)
>
> Und dedeutet Ann. Annahme? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Was ist dann Vor.?
Voraussetzung.
Wir hatten ja angenommen (bzw, vorausgesetzt), dass f surj. ist.
Diese Annahme hat im Beweis dann zu dem Widerspruch geführt, dass [mm]n\in N \ \wedge \ n\notin N[/mm] ist.
Also war die Annahme (Voraussetzung) falsch und f kann nicht surj. sein.
>
> Stell ich mich eigentlich sehr bescheuert an?
>
> LG
> Lilli
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mi 20.10.2010 | | Autor: | LiliMa |
Alles klar. Dankeschön.
Ich frage nur nochmal nach, damit ich das wirklich richtig verstehe:
1.Fall: $ [mm] n\in N=f(n)\overset{Def. N}{\Rightarrow} n\notin [/mm] N $ Widerspruch
2.Fall: $ [mm] n\notin N=f(\red{n})\overset{Def. N}{\Rightarrow} n\in [/mm] N $ Widerspruch.
Mit diesen beiden Fällen sagt man, dass es sowohl n in N gibt als auch n die nicht in N sind und das ist nicht möglich und das ist der Widerspruch. Und weil für surjektivität jedem Element ein anders zugeordnet werden muss hat man das gezeigt was man sollte. Hab ich das so richtig verstanden?
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Hallo nochmal,
> Alles klar. Dankeschön.
>
> Ich frage nur nochmal nach, damit ich das wirklich richtig
> verstehe:
>
> 1.Fall: [mm]n\in N=f(n)\overset{Def. N}{\Rightarrow} n\notin N[/mm]
> Widerspruch
>
> 2.Fall: [mm]n\notin N=f(\red{n})\overset{Def. N}{\Rightarrow} n\in N[/mm]
> Widerspruch.
>
> Mit diesen beiden Fällen sagt man, dass es sowohl n in N
> gibt als auch n die nicht in N sind und das ist nicht
> möglich und das ist der Widerspruch.
Nein, es ist doch immer so, dass ein Element in einer Menge liegt oder nicht. Und beide Fälle führen um Widerspruch.
Damit ist unsere Voraussetzung, dass f surj. ist, falsch.
Nochmal kurz zur Struktur:
So wie N definiert ist, ist es Teilmenge von M, dh. [mm]N\in\mathcel{P}(M)[/mm], die Potenzmenge von M enthält ja alle Teilmengen von M.
Nun haben wir [mm]f:M\to\mathcal{P}(M)[/mm] als surj. vorausgesetzt.
Es gibt also zu jedem Element aus [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] ein Urbild aus M, insbesondere auch zu N, das haben wir klein n genannt, also:
Zu [mm]N\in\mathcal{P}(N)[/mm] existiert [mm]n\in M[/mm] mit [mm]f(n)=N[/mm]
Dann haben wir das, was oben in rot steht, auf die konkrete Menge N angewandt.
Es muss entweder n in der Menge N liegen oder n nicht in der Menge N liegen.
Diese beiden Fälle haben wir betrachtet und beide zu einem Widerspruch geführt.
Es gilt: [mm]n\in N\Rightarrow n\notin N[/mm] und im anderen Fall [mm]n\notin N\Rightarrow n\in N[/mm]
Also Käse!
> Und weil für
> surjektivität jedem Element ein anders zugeordnet werden
> muss
Hmm, das ist kraus formuliert und falsch, wenn ich es richtig interpretiere:
Nimm mal die Funktion [mm]g:\IR\to\IR^+_0[/mm]
Die ist surjektiv, weil es zu jedem Element [mm]z[/mm] aus [mm]\IR^+_0[/mm] ein Urbild [mm]x\in \IR[/mm] gibt mit [mm]g(x)=z[/mm]
Dies ist aber außer für z=0 doch nicht eideutig.
Betrachte etwa [mm]z=4[/mm], dann kannst du [mm]x=2[/mm] oder [mm]x=-2[/mm] nehmen, denn [mm]g(2)=g(-2)=4[/mm]
f surj. bedeutet, dass es zu jedem Element z aus dem Zielbereich (mindestens) ein Element x aus dem Urbildbereich gibt, das auf z abgebildet wird, also [mm]f(x)=z[/mm]
> hat man das gezeigt was man sollte. Hab ich das so
> richtig verstanden?
Ich glaube, nicht so ganz, aber lies nochmal die Anmerkungen oben zur Struktur in Ruhe durch ...
Gruß
schachuzipus
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