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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Nichtexistenz einer Lösung
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Nichtexistenz einer Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Do 04.12.2014
Autor: rollroll

Aufgabe
Zeige die Nichtexistenz einer Lösung der DGL y'=h(y), wobei h:[a,b] --> IR definiert als
h(y)=5 für y [mm] \in \IQ [/mm] und h(y)=3 für y [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm]

Hallo,

ich bräuchte Hilfe bei obiger Aufgabe.
Ich würde zunächst einmal annehmen, es gebe eine Lösung y.  Dann gilt y'=h(y) [mm] \in [/mm] {3,5}. Dann muss ja schon y'=5 oder y'=3 sein. Im ersten Fall gibt es eine Konstante C mit y=x+C. Wählt man nun aber ein [mm] \alpha \in [/mm] [a,b] mit [mm] \alpha+C \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ, [/mm] dann gilt:
[mm] 3=y'(\alpha)=h(y(\alpha))=h(\alpha+C)=5 [/mm] --> Widerspruch.
Was meint ihr dazu?

Alternativ könnte man vielleicht versuchen zu zeigen , dass der Existenzsatz von Peano nicht gilt, also dass h nicht stetig ist. Oder folgt das schon aus obigem?

Danke für eure Hilfe!


        
Bezug
Nichtexistenz einer Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:54 Fr 05.12.2014
Autor: fred97


> Zeige die Nichtexistenz einer Lösung der DGL y'=h(y),
> wobei h:[a,b] --> IR definiert als
>  h(y)=5 für y [mm]\in \IQ[/mm] und h(y)=3 für y [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich bräuchte Hilfe bei obiger Aufgabe.
>  Ich würde zunächst einmal annehmen, es gebe eine Lösung
> y.  Dann gilt y'=h(y) [mm]\in[/mm] {3,5}. Dann muss ja schon y'=5
> oder y'=3 sein. Im ersten Fall gibt es eine Konstante C mit
> y=x+C. Wählt man nun aber ein [mm]\alpha \in[/mm] [a,b] mit
> [mm]\alpha+C \in \IR[/mm] \ [mm]\IQ,[/mm] dann gilt:
>  [mm]3=y'(\alpha)=h(y(\alpha))=h(\alpha+C)=5[/mm] --> Widerspruch.

>  Was meint ihr dazu?

Deine Idee ist nicht übel, Du hast aber unpräzise und unvollständig argumentiert.


>  
> Alternativ könnte man vielleicht versuchen zu zeigen ,
> dass der Existenzsatz von Peano nicht gilt, also dass h
> nicht stetig ist.

h ist nicht stetig, das folgt aus dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.



>  Oder folgt das schon aus obigem?

Mit Peano funktioniert das nicht !

Nimm an, die DGL hätte eine Lösung y.

Fall 1: y ist konstant. Dann ist entweder y' konstant =3 oder y' ist konstant =5.

Im ersten Fall ist y von der Form y(x)=3x+b und im zweiten Fall von der Form y(x)=5x+c. In beiden Fällen ist y also nicht konstant, Widerspruch.


Fall 2: y ist nicht konstant. Also nimmt y mindestens zwei verschiedene Wert [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] an. Es gelte etwa [mm] y_1
y ist als differenzierbare Funktion stetig, als gilt nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen:

   das Intervall [mm] [y_1,y_2] [/mm] liegt im Bild von y.

Damit nimmt y sowohl rationale , als auch irrationale Werte an.

Damit ist die Bildmenge von y' gerade die Menge [mm] \{3,5\}. [/mm]

Nun besagt aber der Satz von Darboux (Zwischenwertsatz für Ableitungen):

die Bildmenge von y' enthält das Intervall [3,5]

Widerspruch !

([]http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_analysis_1/21_mittelwertsaetze.pdf)

FRED

>  
> Danke für eure Hilfe!
>  


Bezug
                
Bezug
Nichtexistenz einer Lösung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:26 Fr 05.12.2014
Autor: rollroll

Angenommen, es gäbe eine Lösung y : I=[a,b] --> [mm] \IR [/mm] obiger Gleichung auf einem Intervall I. Dann
gilt y'(x) = h(y(x)) [mm] \in [/mm] {3, 5} für alle x [mm] \in [/mm] I. Das ist aber nur möglich, wenn
entweder y'(x) = 3 für alle x [mm] \in [/mm] I oder y'(x) = 5 für alle x [mm] \in [/mm] I gilt. Im ersten Fall (y'(x) = 5 für alle x [mm] \in [/mm] I) gibt es dann eine Konstante C [mm] \in \IR [/mm] mit y(x) = 5x+C für alle x [mm] \in [/mm] I. Wählt man nun ein  [mm] \alpha \in [/mm] I mit 5 [mm] \alpha [/mm] +C [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ, [/mm] so erhält man den Widerspruch
5 = [mm] y'(\alpha) [/mm] = [mm] f(y(\alpha)) [/mm] = f(5 [mm] \alpha+ [/mm] C) = 3.

Im zweiten Fall gilt analog y(x) = 3x+C für ein C [mm] \in \IR [/mm] und man kann dieses Mal ein  [mm] \alpha \in [/mm] I mit 3 [mm] \alpha [/mm] + C  [mm] \in \IQ [/mm] wählen, um wieder den Widerspruch
3 = y' ( [mm] \alpha) [/mm] = f(3 [mm] \alpha [/mm] + C) = 5
zu erhalten.
Also kann die gegebene Differentialgleichung keine Lösung besitzen.

Ich habe die Lösung jetzt (hoffentlich) etwas präziser gefasst. Wäre das so ok? Oder an welcher Stelle scheitert dieser Beweis?


Bezug
                        
Bezug
Nichtexistenz einer Lösung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:08 Fr 05.12.2014
Autor: rollroll

Was meint ihr zu dieser loesung?  Oder muss ich diese noch um freds Antwort ergänzen?

Bezug
                                
Bezug
Nichtexistenz einer Lösung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 So 07.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Nichtexistenz einer Lösung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:59 Sa 06.12.2014
Autor: rollroll

@ Fred: Was meinst du dazu?

Bezug
                                
Bezug
Nichtexistenz einer Lösung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 08.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Nichtexistenz einer Lösung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 So 07.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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