Nichtlineare DGL < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Do 04.11.2010 | | Autor: | Michi_ |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe eine nichtlineare DGL 1.Ordnung
[mm] x(1-t^2)* [/mm] x' - [mm] t(1-x^2)=0
[/mm]
a.) Bestimmung der stationären Lösung
[mm] x(1-t^2)*x' [/mm] = [mm] t(1-x^2)
[/mm]
x' = [mm] \bruch{t(1-x^2)}{x(1-t^2)}
[/mm]
-> stationäre Lösung bei x=-1, x=1
b.)Löse die DGL durch Trennung der Variabeln
[mm] \bruch{dx}{dt} (1-t^2)x [/mm] = [mm] t(1-x^2)
[/mm]
[mm] \bruch{x}{1-x^2} [/mm] * dx = [mm] \bruch{t}{1-t^2} [/mm] * dt
-1/2 [mm] \integral \bruch{-2x}{1-x^2} [/mm] dx = -1/2 [mm] \integral \bruch{-2t}{1-t^2} [/mm] *dt
ln [mm] (1-x^2) [/mm] = ln [mm] (1-t^2) [/mm] +C
[mm] 1-x^2=t^2 [/mm] +C
x=t + C
c.) Bestimme den Gültigkeitsbereich der Lösung in Abhängigkeit der Integrationskonstante C
c=x-t
x=t+x-t
x=x D element aus [mm] R\{0}
[/mm]
d.) Wieviel Lösungen hat das AWP x(1)=1
eigentlich nur eine und die exact bei x=1 und t=1 oder??
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Hallo Michi_,
> Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> ich habe eine nichtlineare DGL 1.Ordnung
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> [mm]x(1-t^2)*[/mm] x' - [mm]t(1-x^2)=0[/mm]
>
> a.) Bestimmung der stationären Lösung
>
> [mm]x(1-t^2)*x'[/mm] = [mm]t(1-x^2)[/mm]
>
> x' = [mm]\bruch{t(1-x^2)}{x(1-t^2)}[/mm]
>
> -> stationäre Lösung bei x=-1, x=1
>
> b.)Löse die DGL durch Trennung der Variabeln
>
> [mm]\bruch{dx}{dt} (1-t^2)x[/mm] = [mm]t(1-x^2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{1-x^2}[/mm] * dx = [mm]\bruch{t}{1-t^2}[/mm] * dt
>
> -1/2 [mm]\integral \bruch{-2x}{1-x^2}[/mm] dx = -1/2 [mm]\integral \bruch{-2t}{1-t^2}[/mm]
> *dt
>
> ln [mm](1-x^2)[/mm] = ln [mm](1-t^2)[/mm] +C
> [mm]1-x^2=t^2[/mm] +C
Das stimmt nicht, denn
[mm]e^{(1-x^2)}=e^{ln(1-t^2) +C}=e^{C}*e^{ln(1-t^2)}=C_{1}*\left(1-t^{2}\right)[/mm]
> x=t + C
>
> c.) Bestimme den Gültigkeitsbereich der Lösung in
> Abhängigkeit der Integrationskonstante C
>
> c=x-t
> x=t+x-t
> x=x D element aus [mm]R\{0}[/mm]
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> d.) Wieviel Lösungen hat das AWP x(1)=1
>
> eigentlich nur eine und die exact bei x=1 und t=1 oder??
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Do 04.11.2010 | | Autor: | Michi_ |
hi,
danke stimmt
ln [mm] (1-x^2) [/mm] = ln [mm] (1-t^2)+C
[/mm]
[mm] 1-x^2 [/mm] = [mm] (1-t^2)*C
[/mm]
x=+/- [mm] \wurzel{1-(1-t^2)*C}
[/mm]
c.)Wenn ich diesen Ausdruck bekomme habe ich doch, wie kann ich dann
den Definitionsbereich in Abhängigkeit von 0 festlegen?
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Hallo Michi_,
> hi,
>
> danke stimmt
>
> ln [mm](1-x^2)[/mm] = ln [mm](1-t^2)+C[/mm]
> [mm]1-x^2[/mm] = [mm](1-t^2)*C[/mm]
> x=+/- [mm]\wurzel{1-(1-t^2)*C}[/mm]
>
> c.)Wenn ich diesen Ausdruck bekomme habe ich doch, wie kann
> ich dann
> den Definitionsbereich in Abhängigkeit von 0 festlegen?
>
Nun, der Ausdruck unter der Wurzel muß größer oder gleich 0 sein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 09.11.2010 | | Autor: | Michi_ |
[mm] (1-t^2)* [/mm] x' - [mm] t(1-x^2)=0
[/mm]
a.) Bestimmung der stationären Lösung
[mm] x(1-t^2)*x' [/mm] = [mm] t(1-x^2)
[/mm]
x' = [mm] \bruch{t(1-x^2)}{x(1-t^2)}
[/mm]
-> stationäre Lösung bei x=-1, x=1
b.)Löse die DGL durch Trennung der Variabeln
[mm] \bruch{dx}{dt} (1-t^2)x [/mm] = [mm] t(1-x^2)
[/mm]
[mm] \bruch{x}{1-x^2} [/mm] * dx = [mm] \bruch{t}{1-t^2} [/mm] * dt
-1/2 [mm] \integral \bruch{-2x}{1-x^2} [/mm] dx = -1/2 [mm] \integral \bruch{-2t}{1-t^2} [/mm] *dt
ln [mm] (1-x^2) [/mm] = ln [mm] (1-t^2) [/mm] +C
[mm] x=\wurzel{1-(1-t^2)*C_1}
[/mm]
c.) Bestimme den Gültigkeitsbereich der Lösung in Abhängigkeit der Integrationskonstante C
C<= [mm] \bruch{1}{t^2+1}
[/mm]
d.) Wieviele Lösungen hat das AWP x(1)=1
setze ich nun mein AWP in die allg form ein
bekomme ich
[mm] 1=\wurzel{1-(1-1^2)*C}
[/mm]
damit hat die funktion x(1)=1 doch nur eine einzige Lösung
da mein C beim Einsetzen des AWP in die allg. Lösung 0 ergibt??
Danke nochmals
Gruss
Michi_
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Hallo Michi_,
> [mm](1-t^2)*[/mm] x' - [mm]t(1-x^2)=0[/mm]
>
> a.) Bestimmung der stationären Lösung
>
> [mm]x(1-t^2)*x'[/mm] = [mm]t(1-x^2)[/mm]
>
> x' = [mm]\bruch{t(1-x^2)}{x(1-t^2)}[/mm]
>
> -> stationäre Lösung bei x=-1, x=1
>
> b.)Löse die DGL durch Trennung der Variabeln
>
> [mm]\bruch{dx}{dt} (1-t^2)x[/mm] = [mm]t(1-x^2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{1-x^2}[/mm] * dx = [mm]\bruch{t}{1-t^2}[/mm] * dt
>
> -1/2 [mm]\integral \bruch{-2x}{1-x^2}[/mm] dx = -1/2 [mm]\integral \bruch{-2t}{1-t^2}[/mm]
> *dt
>
> ln [mm](1-x^2)[/mm] = ln [mm](1-t^2)[/mm] +C
>
> [mm]x=\wurzel{1-(1-t^2)*C_1}[/mm]
[mm]x=-\wurzel{1-(1-t^2)*C_1}[/mm]
löst auch die DGL.
>
> c.) Bestimme den Gültigkeitsbereich der Lösung in
> Abhängigkeit der Integrationskonstante C
>
> C<= [mm]\bruch{1}{t^2+1}[/mm]
Hier ist der Gültigkeitsbereich für t gefragt.
>
> d.) Wieviele Lösungen hat das AWP x(1)=1
>
> setze ich nun mein AWP in die allg form ein
>
> bekomme ich
>
> [mm]1=\wurzel{1-(1-1^2)*C}[/mm]
>
> damit hat die funktion x(1)=1 doch nur eine einzige
> Lösung
> da mein C beim Einsetzen des AWP in die allg. Lösung 0
> ergibt??
Nein. Mit der Anfangsbedingung x(1)=1 ergibt sich
[mm]1=\wurzel{1-(1-1^2)*C}=\wurzel{1-0*C}[/mm]
Da hier C nicht bestimmbar ist, gibt es unendlich viele Lösungen.
>
> Danke nochmals
>
> Gruss
> Michi_
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Di 09.11.2010 | | Autor: | Michi_ |
ok, vielen dank mathepower
gruss
michi
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