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| Aufgabe | Bestimmen Sie diejenige Exponentialfunktion vom Typ [mm] y=ae^{bx}, [/mm] die sich den folgenden fünf Messpunkten in "optimaler" Weise anpaßt.
[mm] x_{i} [/mm] -> 0; 1; 2; 3;
[mm] y_{i} [/mm] -> 5,1; 1,75; 1,08; 0,71; |
Hallo,
komme mit obiger Aufgabe nicht klar.
Es handelt sich um eine nichtlineare Funktion, diese könnte ich in eine quasilineare Funktion umwandeln. Aus [mm] f(x)=ae^{bx} [/mm] -> Modell [mm] Y_{i}=ae^{bx_{i}} [/mm] -> lnf(x) neues quasilineares Modell [mm] Z_{i}=lna+bx_{i}+E'_{i}, [/mm] mit den Parametern [mm] \alpha=lna [/mm] und b.
Tja, wie aber berechne ich nun meine Funktion? Nach dem linearen Regressionsansatz, aber wie erhalte ich meine Schätzwerte [mm] \hat{a} [/mm] und [mm] \hat{b} [/mm] ?
Für einen (oder mehrere) Denkanstösse wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:20 Mi 12.05.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
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> Tja, wie aber berechne ich nun meine Funktion? Nach dem
> linearen Regressionsansatz, aber wie erhalte ich meine
> Schätzwerte [mm]\hat{a}[/mm] und [mm]\hat{b}[/mm] ?
>
Wos ist ist das Problem? $b_$ bleibt, [mm] $\hat a=\exp(\alpha)$.
[/mm]
Uebrigens: Man erhaelt im allgemeinen andere Werte, wenn man [mm] $\sum(y_i-a\exp(bx_i))^2$ [/mm] bzgl $a,b_$ minimiert. Allerdings gibt es m.W. hierfuer keine einfachen Formeln.
vg Luis
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Hallo luis,
anfangs dachte ich mir auch, dass es so einfach wäre, aber meine Ergebnisse für [mm] \hat{a} [/mm] und [mm] \hat{b} [/mm] stimmen nicht. Berechnet habe ich sie nach dem linearen Ansatz -> [mm] \hat{b}=\bruch{s_{xy}}{s^{2}_{x}} [/mm] und [mm] \hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}. [/mm]
[mm] s^{2}_{x}\approx1,291; s_{xy}\approx-2,307 [/mm] -> [mm] \hat{b}\approx-1,787, [/mm] was bereits falsch ist und damit wird dann auch [mm] \hat{a} [/mm] falsch.
Die Werte aus der Tabelle kann ich doch ohne Umformung direkt zur Berechnung nutzen, oder?
MfG
Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Mi 12.05.2010 | | Autor: | chrisno |
Bist Du an eine Methode gebunden? Ist eine nummerische Lösung zugelassen?
Mit ein bischen herumprobieren in der Tabellenkalkulation komme ich auf $a [mm] \approx [/mm] 5,01$ und $b [mm] \approx [/mm] -0,872$
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Mi 12.05.2010 | | Autor: | luis52 |
> Die Werte aus der Tabelle kann ich doch ohne Umformung
> direkt zur Berechnung nutzen, oder?
Nein, rechne mit [mm] $\ln(y_i)$, [/mm] die [mm] $x_i$ [/mm] bleiben. *Ich* erhalte so: [mm] $\hat [/mm] b=-0.6398$
und [mm] $\hat [/mm] a=1.4405$.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mi 12.05.2010 | | Autor: | Hoffmann79 |
Hallo,
ich habe meinen Fehler gefunden, hatte statt mit [mm] s^{2}_{x} [/mm] nur mit [mm] s_{x} [/mm] gerechnet.
Vielen dank an meine Helfer.
MfG
Daniel
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