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Hallo zusammen,
ich habe folgendes nichtlineares Gleichungssystem zu lösen.
[mm] p_a [/mm] = [mm] \bruch{u_a}{[1-(1-p_b)(1-p_c)(1-p_d)]} [/mm]
[mm] p_b [/mm] = [mm] \bruch{u_b}{[1-(1-p_a)(1-p_c)(1-p_d)]}
[/mm]
[mm] p_c [/mm] = [mm] \bruch{u_c}{[1-(1-p_a)(1-p_b)(1-p_d)]}
[/mm]
[mm] p_d [/mm] = [mm] \bruch{u_d}{[1-(1-p_a)(1-p_b)(1-p_c)]}
[/mm]
[mm] u_a...u_d [/mm] sind bekannt, [mm] p_a...p_d [/mm] gesucht.
Mithilfe welchen Verfahrens oder unter welchen Bedingungen kann ich das GS lösen?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Mi 15.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich würde [mm] p_{a}, p_{b} [/mm] und [mm] p_{c} [/mm] in die letzte Gleichung einsetzen, damit kannst du dann [mm] p_{d} [/mm] berechnen.
Hast du dieses, setze [mm] p_{a} [/mm] und [mm] p_{b} [/mm] und den konkreten Wert für [mm] p_{d} [/mm] in die dritte Gleichung ein, berechne daraus dann [mm] p_{c}
[/mm]
So kannst du dann auch [mm] p_{b} [/mm] berechnen, und schlussendlich [mm] p_{a}.
[/mm]
Das dauert zwar einige Zeit und dürfte auch recht viel Schreiberei sein, aber es sollte klappen.
Marius
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Hallo und danke für die schnelle Antwort,
ich habe bereits versucht, das ganze händisch zu lösen. Allerdings werden die Terme trotz Substitution relativ schnell groß und unübersichtlich. Auch Dein Vorschlag des Einsetzens etc. hatte ich schon durch, allerdings war es mir nicht möglich, so zu eliminieren, als dass ich nach einer Variable hätte auflösen können.
Ich dachte, man könnte das vielleicht numerisch lösen?
Gruß
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Hallo bambusmofa,
Du hast Recht; von Hand ist das eine kaum zu leistende Arbeit, zumal die so regelmäßige Struktur der Gleichungen leider überhaupt nicht zur Vereinfachung beiträgt, im Gegenteil.
Von daher würde ich das auch eher numerisch angehen. Es zeigt sich allerdings, dass das Gleichungssystem normalerweise nicht eindeutig ist, sondern mehrere Lösungen besitzt.
Geht es Dir im Moment darum, überhaupt eine Lösung zu finden oder möglichst alle? Geht es nur um einen bestimmten Satz von [mm] \blue{u_i} [/mm] oder suchst Du eine Methode, die Du immer wieder auf neue Werte anwenden kannst? Gibt es Einschränkungen für die [mm]\blue{p_i}[/mm], z.B. alle positiv oder gar [mm]\blue{0
Der schnellste Weg dürfte sein, eine Hilfsvariable einzuführen und damit eine fünfte Gleichung, nämlich
[mm] r=(1-p_a)(1-p_b)(1-p_c)(1-p_d)
[/mm]
Damit wird dann z.B. aus der ersten Gleichung:
[mm] p_a=\bruch{u_a}{1-\bruch{r}{1-p_a}}
[/mm]
Nun setzen wir ein festes r an und können dann (alle [mm] u_i [/mm] sind ja bekannt) alle [mm] p_i [/mm] berechnen - nur leider bekommen wir immer zwei Werte, da es sich um eine quadratische Gleichung handelt. Dazu gleich noch etwas.
Wäre das nicht so - will heißen: wäre [mm] p_i [/mm] durch r und [mm] u_i [/mm] eindeutig bestimmt -, dann kämen wir mit einer Intervallschachtelung schnell voran. Aus einem angenommenen r folgten dann alle [mm] p_i, [/mm] und man müsste nur noch das Produkt [mm] \produkt(1-p_i) [/mm] überprüfen, das ja =r sein soll. So könnte man sich schnell "herantasten".
Nun ist das Problem aber, dass die [mm] p_i [/mm] nicht eindeutig sind, sondern immer zwei mögliche Werte haben. Insgesamt muss ich also [mm] 2^4=16 [/mm] Produkte überprüfen und weiß vorher nicht, welches davon überhaupt eine Lösung liefern kann. Wahrscheinlich nicht nur eins; ich gehe davon aus, dass Du für jeden "Satz" von [mm] u_i [/mm] mehrere Lösungen findest - daher die Frage nach den Nebenbedingungen.
Gib doch mal Antwort auf den blau markierten Frageabsatz oben.
Grüße
reverend
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Hallo und vielen Dank zunächst,
ja, mir geht es grundsätzlich erstmal um eine Lösung bzw. überhaupt Werte für die [mm] p_i [/mm] aus diesem Gleichungssystem zu erhalten. Die angegebenen [mm] p_i [/mm] sollen Wahrscheinlichkeiten darstellen, befinden sich also im Bereich [mm] 0
Die [mm] u_i [/mm] (ebenfalls Wahrscheinlichkeiten) sind für dieses spezielle Problem fix, ich benötige also keinen allgemeinen Ansatz, sondern nur eine Lösungsmöglichkeit.
Gruß
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Hallo nochmal,
> ja, mir geht es grundsätzlich erstmal um eine Lösung bzw.
> überhaupt Werte für die [mm]p_i[/mm] aus diesem Gleichungssystem
> zu erhalten. Die angegebenen [mm]p_i[/mm] sollen
> Wahrscheinlichkeiten darstellen, befinden sich also im
> Bereich [mm]0
das hatte ich gehofft. Mir kamen die Gleichungen irgendwie auch bekannt vor...
Heißt das übrigens auch, dass [mm] \summe{p_i}=1 [/mm] sein muss? Dann gäbe es sicher höchstens eine (und wahrscheinlich genau eine) Lösung, wenn überhaupt.
> Die [mm]u_i[/mm] (ebenfalls Wahrscheinlichkeiten) sind für dieses
> spezielle Problem fix, ich benötige also keinen
> allgemeinen Ansatz, sondern nur eine Lösungsmöglichkeit.
Dann versuch mal den Ansatz mit einer zusätzlichen Gleichung. Soweit ich sehe, kommen dann keineswegs 16 Lösungskombination in Betracht, sondern nur eine einzige. Dann kann man leicht schachteln.
Wenn Du willst, schick doch auch mal die vier gegebenen [mm] u_i. [/mm] Dann versuche ichs auch mal, rein aus eigenem Interesse. 
Grüße
reverend
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> Heißt das übrigens auch, dass [mm]\summe{p_i}=1[/mm] sein muss?
> Dann gäbe es sicher höchstens eine (und wahrscheinlich
> genau eine) Lösung, wenn überhaupt.
Nein, muss und kann in diesem Fall nicht gelten.
> Wenn Du willst, schick doch auch mal die vier gegebenen
> [mm]u_i.[/mm] Dann versuche ichs auch mal, rein aus eigenem
> Interesse.
Klingt gut ;)
[mm] u_1 [/mm] = [mm] 2,56*10^{-7}
[/mm]
[mm] u_2 [/mm] = [mm] 7,69*10^{-8}
[/mm]
[mm] u_3 [/mm] = [mm] 5,13*10^{-8}
[/mm]
[mm] u_4 [/mm] = [mm] 1,03*10^{-7}
[/mm]
Gruß
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Sorry. Meine Rechengenauigkeit reicht nicht aus, um hier Lösungen zu bestimmen. Die [mm] u_i [/mm] sind einfach zu klein.
Wenn Du bessere Technik (bzw. Software) zur Verfügung hast, funktioniert der Weg aber. Es genügt tatsächlich, bei den Lösungen der vier quadratischen Gleichungen nur mit dem jeweils kleineren Wert weiterzuarbeiten. Eine Intervallschachtelung sollte also, genügende Genauigkeit (double float reicht nicht!) vorausgesetzt, problemlos möglich sein.
Also: [mm] p_i=\bruch{1+u_i-r}{2}-\wurzel{\left(\bruch{1+u_i-r}{2}\right)^2-u_i}
[/mm]
Grüße
reverend
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