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Forum "Lineare Abbildungen" - Nilpotent und Eigenwert
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Nilpotent und Eigenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Mo 23.01.2012
Autor: durden88

Aufgabe
Es sei [mm] A\in M(nxn,\IR). [/mm] Ferner sei A nilpotent, d.h. dass es ein [mm] k\inN [/mm] gibt mit [mm] A^k=0. [/mm] Zeigen Sie, dass A als einzige Eigenwert [mm] \lambda=0 [/mm] hat.

Juten Tag,

ich hab mal angefangen:

[mm] A*\vec{v}=\lambda*\vec{v} [/mm]
[mm] A^R*\vec{v}=0=\lambda^k*\vec{v} [/mm]
[mm] A^R*B*\vec{v}=0=B*\lambda^k*\vec{v} [/mm]
[mm] -->A^R*B*\vec{v}=0=B*\lambda^k*\vec{v} [/mm]

So kann ich das bis dahin so schließen? Nun wei0 ich aber nicht mehr weiter, ich muss ja irgendwie drauf schließen, dass [mm] \lambda=0 [/mm] ist oder?

        
Bezug
Nilpotent und Eigenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Mo 23.01.2012
Autor: fred97


> Es sei [mm]A\in M(nxn,\IR).[/mm] Ferner sei A nilpotent, d.h. dass
> es ein [mm]k\inN[/mm] gibt mit [mm]A^k=0.[/mm] Zeigen Sie, dass A als einzige
> Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm] hat.
>  Juten Tag,
>  
> ich hab mal angefangen:
>  
> [mm]A*\vec{v}=\lambda*\vec{v}[/mm]
>  [mm]A^R*\vec{v}=0=\lambda^k*\vec{v}[/mm]

Was ist R  ? Soll wohl das k sein ?


>  [mm]A^R*B*\vec{v}=0=B*\lambda^k*\vec{v}[/mm]
>  [mm]-->A^R*B*\vec{v}=0=B*\lambda^k*\vec{v}[/mm]


Völlig chaotisch ! Was ist B ? Was hat das da zu suchen ?

1 Zunächst mal ganz allgemein:

Ist A eine nxn - Matrix, v [mm] \in \IR^n [/mm] und  [mm] \lambda \in \IR, [/mm] so folgt aus Av= [mm] \lambda [/mm] v, auch

                        $A^mv= [mm] \lambd^mv [/mm] $  für jedes m [mm] \in \IN. [/mm]

Ist Dir das klar ?  Beweisen kannst Du das locker mit Induktion.

2. Zu Deiner Aufgabe:  sei also [mm] A^k=0 [/mm]  für ein k [mm] \in \IN. [/mm] Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so gibt es ein v [mm] \in \IR^n [/mm] mit: v [mm] \ne [/mm] 0 und Av= [mm] \lambda [/mm] v.

So, nun versuche mal mit 1. zu zeigen, dass [mm] \lambda=0 [/mm] folgt.

FRED


>  
> So kann ich das bis dahin so schließen? Nun wei0 ich aber
> nicht mehr weiter, ich muss ja irgendwie drauf schließen,
> dass [mm]\lambda=0[/mm] ist oder?


Bezug
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