Nilpotente Endomorpihsmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Do 18.10.2007 | | Autor: | jmeini |
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Hallo! Ich komme mit der folgenden Aufgabe nicht zurecht.
| Aufgabe | | Sei x: V [mm] \to [/mm] V ein nilpotenter Endomorphismus. Zeigen Sie, dass es ein von null verschiedener Vektor v [mm] \in [/mm] V gibt, so dass xv = 0. |
Ich habe nur rausgefunden, dass das mit hilfe von Jordanscha Normalform bewiesen wird. Stimmt das?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Do 18.10.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> Sei x: V [mm]\to[/mm] V ein nilpotenter Endomorphismus. Zeigen Sie,
> dass es ein von null verschiedener Vektor v [mm]\in[/mm] V gibt, so
> dass xv = 0.
>
> Ich habe nur rausgefunden, dass das mit hilfe von
> Jordanscha Normalform bewiesen wird. Stimmt das?
Ja, das geht. Aber es geht auch ohne, also direkt.
Die Bedingung (Existenz eines solchen Vektors) heisst ja gerade, dass der Kern von $x$ nicht trivial ist. Und das bedeutet nichts anderes, als dass $x$ u.a. den Eigenwert 0 hat.
So. Welche Eigenwerte kann ein nilpotenter Endomorphismus jetzt haben?
LG Felix
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