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Hallo. Ich lese gerade ein Buch über Lie-Algebren und Lie-Gruppen und komme an einer Stelle nicht weiter und wäre daher sehr dankbar, wenn mir einer von euch dabei helfen könnte.
Lemma
Sei K ein Körper, und sei [mm] V\not=\{0\} [/mm] ein K-Vektorraum, g<gl(V) und X [mm] \in [/mm] g. Wenn X [mm] \in [/mm] gl(V) nilpotent ist, dann ist auch ad(X): g [mm] \to [/mm] g nilpotent.
Anmerkung: ad(X) wird vorher für ein gegebenes X definiert als:
ad(X):g [mm] \to [/mm] g, Y [mm] \mapsto [/mm] [X,Y], wobei [X,Y] die Lie-Klammer ist.
Frage:
1.) Warum schreiben die Autoren einmal X [mm] \in [/mm] g, ein anderes Mal aber X [mm] \in [/mm] gl(V)?
2.) Kann X überhaupt nilpotent sein? So wie ich das verstehe, ist X oben nicht als Menge, sonders als einzelnes Element einer Menge gemeint, und - wenn ich alles richtig verstanden habe - kann man von "Nilpotenz eines einzelnen Elements" gar nicht sprechen, oder?
Danke im Voraus für eure Hilfe,
hhashavti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Sa 16.08.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Lemma
>
> Sei K ein Körper, und sei [mm]V\not=\{0\}[/mm] ein K-Vektorraum,
> g<gl(V) und X [mm]\in[/mm] g. Wenn X [mm]\in[/mm] gl(V) nilpotent ist, dann
> ist auch ad(X): g [mm]\to[/mm] g nilpotent.
Wann ist denn ein Element einer Lie-Gruppe nilpotent, und wann ist ein Homomorphismus nilpotent?
> Anmerkung: ad(X) wird vorher für ein gegebenes X definiert
> als:
>
> ad(X):g [mm]\to[/mm] g, Y [mm]\mapsto[/mm] [X,Y], wobei [X,Y] die Lie-Klammer
> ist.
>
> Frage:
> 1.) Warum schreiben die Autoren einmal X [mm]\in[/mm] g, ein
> anderes Mal aber X [mm]\in[/mm] gl(V)?
Vielleicht weil die Definition, dass ein Element nilpotent ist, davon abhaengt, als Element welcher Gruppe man es betrachtet?
> 2.) Kann X überhaupt nilpotent sein? So wie ich das
> verstehe, ist X oben nicht als Menge, sonders als einzelnes
> Element einer Menge gemeint, und - wenn ich alles richtig
> verstanden habe - kann man von "Nilpotenz eines einzelnen
> Elements" gar nicht sprechen, oder?
Das haengt von der Definition bzw. den Definitionen von nilpotent ab.
Da ich diese fuer Lie-Gruppen nicht kenne kann ich dir dabei nicht weiterhelfen. Vielleicht hilft dir meine Antwort trotzdem etwas weiter :) Was du auf jeden Fall machen solltest, ist im Buch nach den verschiedenen Definitionen von nilpotent suchen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Sa 16.08.2008 | | Autor: | hhashavti |
Tut mir Leid, das hat mir aber leider nicht geholfen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 17.08.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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