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| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IK^{nxn} [/mm] nilpotent, d.h. es gibt ein l [mm] \ge [/mm] 0, sodass [mm] A^l [/mm] die Nullmatrix ist.
Zu zeigen ist nun: das Minimalpolynom von A teilt [mm] X^n. [/mm] |
Hallo ihr Lieben.
Ich bin mir unsicher bei meinem Beweis und habe ein paar wenige Fragen dazu:
Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A und v [mm] \not= [/mm] 0 ein zugehöriger Eigenvektor.
[mm] \Rightarrow [/mm] A v = [mm] \lambda [/mm] v
und für [mm] A^l [/mm] gilt:
[mm] \Rightarrow A^l [/mm] v = [mm] \lambda^l [/mm] v
[mm] \gdw [/mm] 0 v = 0 v nach Voraussetzung [mm] \Rightarrow \lambda^l [/mm] =0, da [mm] v\not= [/mm] 0 nach Konstruktion [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] =0
Damit folgt, dass das charakteristische Polynom CP von A folgende Gestalt hat, wobei ich o.B.d.A. [mm] 0\le [/mm] l [mm] \le [/mm] n wähle: CP (A) = [mm] (\lambda [/mm] - [mm] 0]^n [/mm] = [mm] \lambda^n
[/mm]
Da weiterhin das Minimalpolynom das charakteristische Polynom teilt folgt direkt die Behauptung.
q.e.d.
Meine Fragen hierzu:
1) darf ich ohne weiteres einen Eigenvektor v definieren mit [mm] v\not=0, [/mm] oder muss ich zeigen, dass es für irgendeine nilpotente Matrix einen nicht-trivialen Eigenvektor gibt?
2) Ist die letzte Schlussfolgerung richtig?
3) Stimmt mein Ansatz überhaupt?
Lieben Gruß und eine gute Nacht,
Roughi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Sa 01.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei A [mm]\in \IK^{nxn}[/mm] nilpotent, d.h. es gibt ein l [mm]\ge[/mm] 0,
> sodass [mm]A^l[/mm] die Nullmatrix ist.
> Zu zeigen ist nun: das Minimalpolynom von A teilt [mm]X^n.[/mm]
> Hallo ihr Lieben.
>
> Ich bin mir unsicher bei meinem Beweis und habe ein paar
> wenige Fragen dazu:
> Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von A und v [mm]\not=[/mm] 0 ein
> zugehöriger Eigenvektor.
> [mm]\Rightarrow[/mm] A v = [mm]\lambda[/mm] v
> und für [mm]A^l[/mm] gilt:
> [mm]\Rightarrow A^l[/mm] v = [mm]\lambda^l[/mm] v
> [mm]\gdw[/mm] 0 v = 0 v nach Voraussetzung [mm]\Rightarrow \lambda^l[/mm]
> =0, da [mm]v\not=[/mm] 0 nach Konstruktion [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] =0
> Damit folgt, dass das charakteristische Polynom CP von A
> folgende Gestalt hat, wobei ich o.B.d.A. [mm]0\le[/mm] l [mm]\le[/mm] n
> wähle: CP (A) = [mm](\lambda[/mm] - [mm]0]^n[/mm] = [mm]\lambda^n[/mm]
> Da weiterhin das Minimalpolynom das charakteristische
> Polynom teilt folgt direkt die Behauptung.
> q.e.d.
>
> Meine Fragen hierzu:
> 1) darf ich ohne weiteres einen Eigenvektor v definieren
> mit [mm]v\not=0,[/mm] oder muss ich zeigen, dass es für irgendeine
> nilpotente Matrix einen nicht-trivialen Eigenvektor gibt?
Wir unterscheiden 2 Fälle:
1. A=0. Dann ist jedes v [mm] \in \IK^n [/mm] mit v [mm] \ne [/mm] 0 ein Eigenvektor von A.
2. A [mm] \ne [/mm] 0. Dann gibt es ein p [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] A^p=0 [/mm] und [mm] A^{p-1}\ne [/mm] 0.
Folglich ex. ein x [mm] \in \IK^n [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] 0 und [mm] A^{p-1}x \ne [/mm] 0.
Setze v:= [mm] A^{p-1}x. [/mm] Dann ist v [mm] \ne [/mm] 0 und Av=0.
Damit hat A den Eigenwert 0.
> 2) Ist die letzte Schlussfolgerung richtig?
Ja, oben hast Du gezeigt: wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A ist, so ist [mm] \lambda=0. [/mm] Zusammen mit dem , was ich Dir oben gezeigt habe, haben wir:
A besitzt genau einen Eigenwert, nämlich 0.
Damit sieht das char. Polynom von A so aus: [mm] X^n.
[/mm]
FRED
> 3) Stimmt mein Ansatz überhaupt?
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> Lieben Gruß und eine gute Nacht,
> Roughi
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