Nilpotenter Endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f:V→V ein nilpotenter Endomorphismus und W⊂V ein echter K-linearer f-invarianter
Unterraum (d.h. W≠V). Zeigen Sie, dann liegt W echt in f^(-1)(W) und
f^(-1)(W) ist ein f-invarianter Unterraum. |
Ich weiß nicht wie ich zeigen soll, dass
"W echt in f^(-1)(W)" liegt.
Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
zuerst einmal würde ich mir aufschreibe was du schon weißt. Also [mm] $f:V\rightarrow [/mm] V$ ist nilpotent, d.h. [mm] \exists n_{0} \in \IN, \forall n>n_{0}: f^n=0. [/mm] Weiter weißt du dass W [mm] \subset [/mm] V ein f-invarianter Unterraum ist d.h. f(w) [mm] \in [/mm] W [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W.
Weiter weißt du das f injektiv ist(warum ??)
Jetzt kannst du den ersten Teil der Aufgabe schnell erledigen
schreibe mal für eine beliebiges w [mm] \in [/mm] W: [mm] w=f^{-1}f(w) [/mm] und nutze dann die Invarianz
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Kannst du mir kurz mathematisch erklären was invariant ist, damit ich das nachvollziehen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 So 27.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
was es mathematisch bedeutet hat blascowitz ja schon hingeschrieben:
> $f(w) [mm] \in [/mm] W [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W$
Anschaulich gesporchen heißt es, dass für jeden Vektor aus W auch der Bildvektor wieder in W liegt.
Das hilft uns schon mal zu zeigen, dass $W [mm] \subseteq f^{-1}(W)$. [/mm] Angenommen, das wäre nicht der Fall, dann gäbe es ein [mm] $w\in [/mm] W$ mit $w [mm] \notin f^{-1}(W)$. [/mm] Versuche das einmal, das letzte so umzuformuleiren, dass eine Aussage über f(w) herauskommt. Was bedeutet das für die f-Invarianz von W??
Der zweite Schritt ist es zu zeige, dass in [mm] $f^{-1}(W)$ [/mm] auch Vektoren $v [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus [/mm] W$ vorkommen. Dazu nimm einfach mal ein beliebiges $v [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus [/mm] W$ und wende f wiederholt darauf an.
Zu zeigen, dass $f^-1(W)$ f-invariant ist, ist dann richtig einfach, denn was gilt denn für [mm] $f(f^{-1}(W))$?
[/mm]
Gruß
piet
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 So 27.04.2008 | | Autor: | Leipziger |
Dankeschön, für die schnelle Hilfe, werde es mir Morgen in Ruhe anschauen!
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:57 So 27.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
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> Weiter weißt du das f injektiv ist(warum ??)
Ich würde sagen, f ist sicher nicht injektiv, da es mehrere v mit f(v) = 0 gibt....
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> Jetzt kannst du den ersten Teil der Aufgabe schnell
> erledigen
>
> schreibe mal für eine beliebiges w [mm]\in[/mm] W: [mm]w=f^{-1}f(w)[/mm] und
> nutze dann die Invarianz
Auch hier muss man aufpassen: ein [mm] f^{-1} [/mm] für Vektoren gibt es nicht (denn f ist ja nicht bijektiv, noch nicht mal injektiv), nur für Teilmengen.
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