Nilpotenz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:41 Do 28.02.2008 | | Autor: | falko43 |
Kann mir evtl. jemand bei folgendem Beweis helfen:
Sei L: V [mm] \to [/mm] V ein Vektorraumendomorphismus und das charakteristische Polynom von L zerfalle. Es ist zu zeigen, dass L genau dann nilpotent ist, wenn 0 sein einziger Eigenwert ist.
Ich hab wie (fast) immer keinen Plan...
Vielen Dank für die Hilfe!!!!!!!!!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo falko und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da du von einem charakteristischen Polynom redest, nehme ich mal an, dass $V$ endlich dimensional ist. Dann will ich dir mal ein paar Tipps geben. Sei $L$ also nilpotent. Dann [mm] $\exists [/mm] n [mm] \in \IN$, [/mm] sodass [mm] $L^n [/mm] = 0$. Sei nun [mm] $\lambda$ [/mm] eine EW zum EV $x$. Dann gilt doch $L^nx = [mm] \lambda L^{n-1}x [/mm] = 0$. Das Spiel kannst du jetzt fortsetzen und was folgt dann für [mm] $\lambda$?
[/mm]
Für die Rückrichtung: Wenn das charakteristische Polynom zerfällt und 0 der einzige Eigenwert ist, wie sieht dann das char. Polynom konkret aus? Und dann benützt du den Satz von Cayley-Hamilton.
Viel Erfolg!
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