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Forum "Mengenlehre" - Nirgends dicht
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Nirgends dicht: dicht, offen Mengen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 Di 01.07.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Zeigen Sie:

[mm] $\mathbb{R}$ [/mm] lässt sich nicht als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen schreiben.

Hallo,

ich würde gern obige Aufgabe bearbeiten.

[mm] $A\subset \mathbb{R}$ [/mm] ist genau dann nirgends dicht, wenn [mm] $\mathbb{R}\setminus [/mm] A$ eine dichte, offene Teilmenge besitzt.

Ich hatte gedacht, dass man es möglicherweise am besten mit einem Widerspruch macht, also annimmt die reellen Zahlen ließen sich als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen schreiben.

        
Bezug
Nirgends dicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 Di 01.07.2014
Autor: UniversellesObjekt


> [mm]A\subset \mathbb{R}[/mm] ist genau dann nirgends dicht, wenn
> [mm]\mathbb{R}\setminus A[/mm] eine dichte, offene Teilmenge
> besitzt.

Ist das eure Definition oder bereits ein bewiesener Satz?

Im übrigen gehört das ins Topologie-Forum, oder?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt


Bezug
                
Bezug
Nirgends dicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:56 Di 01.07.2014
Autor: YuSul

Dies ist unsere Definition.
Die Aufgabe wurde uns ebenfalls in "Logik" vorgestellt, weshalb ich es mal in den Bereich der Mengenlehre gepackt habe.



Bezug
        
Bezug
Nirgends dicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:45 Mi 02.07.2014
Autor: fred97


> Zeigen Sie:
>  
> [mm]\mathbb{R}[/mm] lässt sich nicht als abzählbare Vereinigung
> nirgends dichter Mengen schreiben.
>  Hallo,
>  
> ich würde gern obige Aufgabe bearbeiten.
>  
> [mm]A\subset \mathbb{R}[/mm] ist genau dann nirgends dicht, wenn
> [mm]\mathbb{R}\setminus A[/mm] eine dichte, offene Teilmenge
> besitzt.
>  
> Ich hatte gedacht, dass man es möglicherweise am besten
> mit einem Widerspruch macht, also annimmt die reellen
> Zahlen ließen sich als abzählbare Vereinigung nirgends
> dichter Mengen schreiben.

Dann mach das doch ! Was hält Dich davon ab ? Es funktioniert, wenn man es richtig anstellt. Also losgehts ..

FRED


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Bezug
Nirgends dicht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Mi 02.07.2014
Autor: YuSul

Angenommen die reellen Zahlen lassen sich als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen schreiben. Dies müsste dann dicht und offen sein.

Sei [mm] $A_n$ [/mm] eine nirgends dichte Menge für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$, [/mm] dann sei:

[mm] $\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n$, [/mm] da [mm] $A_n$ [/mm] nirgends dicht ist [mm] $\mathbb{R}\setminus\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n$ [/mm] dicht und offen.

Also

[mm] $\mathbb{R}=\mathbb{R}\setminus\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n=\bigcap_{n\in\mathbb{N}} (\mathbb{R}\setminus A_n)$ [/mm]

Zu vor haben wir bewiesen, dass der abzählbare Schnitt dichter offener Mengen wieder dicht ist. Damit ist [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] dicht, aber nicht offen.
Widerspruch.


Das wäre mein "Beweis".

Bezug
                        
Bezug
Nirgends dicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:15 Mi 02.07.2014
Autor: fred97


> Angenommen die reellen Zahlen lassen sich als abzählbare
> Vereinigung nirgends dichter Mengen schreiben. Dies müsste
> dann dicht und offen sein.

Was ist "Dies" ?????

>  
> Sei [mm]A_n[/mm] eine nirgends dichte Menge für alle
> [mm]n\in\mathbb{N}[/mm], dann sei:
>  
> [mm]\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n[/mm], da [mm]A_n[/mm] nirgends
> dicht ist [mm]\mathbb{R}\setminus\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n[/mm]

Hä ???? Es ist  [mm]\mathbb{R}\setminus\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n= \emptyset[/mm]   !!!!



> dicht und offen.
>  
> Also
>  
> [mm]\mathbb{R}=\mathbb{R}\setminus\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n=\bigcap_{n\in\mathbb{N}} (\mathbb{R}\setminus A_n)[/mm]
>  
> Zu vor haben wir bewiesen, dass der abzählbare Schnitt
> dichter offener Mengen wieder dicht ist. Damit ist
> [mm]\mathbb{R}[/mm] dicht, aber nicht offen.
>  Widerspruch.
>  
>
> Das wäre mein "Beweis".

Schön, nur ist es kein Beweis !

FRED


Bezug
                                
Bezug
Nirgends dicht: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:22 Mi 02.07.2014
Autor: YuSul

Dies=die reellen Zahlen

Ist mein "Beweis" kompletter Murks?
Wie kann ich es besser machen?

Bezug
                                        
Bezug
Nirgends dicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:11 Mi 02.07.2014
Autor: YuSul

Über weitere Anregungen würde ich mich sehr freuen.

Bezug
                                        
Bezug
Nirgends dicht: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 04.07.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Nirgends dicht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:53 Mi 02.07.2014
Autor: YuSul

Vielleicht ist es doch besser wenn ich es direkt probiere.

Also ich muss ja zeigen, dass ich [mm] \mathbb{R} [/mm] nicht als Vereinigung nirgends dichter Mengen darstellen kann. Und eine Menge heißt nirgends dicht, wenn [mm] \mathbb{R}\setminus [/mm] A dicht und offen ist.

Dann habe ich:

[mm] $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(\mathbb{R}\setminus A_n)=\mathbb{R}\setminus\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n$ [/mm]

Damit die Aussage richtig ist müsste also [mm] $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n=\emptyset$ [/mm] sein. Dies ist aber nicht der Fall, da [mm] A_n [/mm] dichte, offene Mengen sind, und deren abzählbarer Schnitt ebenfalls wieder dicht sein muss. Die leere Menge ist jedoch nicht dicht.

Bezug
                
Bezug
Nirgends dicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:54 Do 03.07.2014
Autor: fred97


> Vielleicht ist es doch besser wenn ich es direkt probiere.
>
> Also ich muss ja zeigen, dass ich [mm]\mathbb{R}[/mm] nicht als
> Vereinigung nirgends dichter Mengen darstellen kann. Und
> eine Menge heißt nirgends dicht, wenn [mm]\mathbb{R}\setminus[/mm]
> A dicht und offen ist.
>  
> Dann habe ich:
>  
> [mm]\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(\mathbb{R}\setminus A_n)=\mathbb{R}\setminus\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n[/mm]

Das stimmt doch nicht !

FRED

>  
> Damit die Aussage richtig ist müsste also
> [mm]\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n=\emptyset[/mm] sein. Dies ist aber
> nicht der Fall, da [mm]A_n[/mm] dichte, offene Mengen sind, und
> deren abzählbarer Schnitt ebenfalls wieder dicht sein
> muss. Die leere Menge ist jedoch nicht dicht.


Bezug
                
Bezug
Nirgends dicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Do 03.07.2014
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

Ich bitte mich zu korrigieren (falls FRED das lesen sollte), aber ich würde vorschlagen:

Nimm eine Folge abzählbarer nirgends dichter Mengen [mm] $(B_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] und setze
$ A = [mm] \bigcup_{n \in \mathbb{N}}B_{n}$ [/mm] , also eine abzählbare Vereinigung der Folge abzählbarer und nirgends dichter Mengen.

Nun könntest du Intervalle (nicht leere) so konstruieren, dass du damit zeigen kannst, dass

$ A - [mm] \mathbb{R}$ [/mm] dicht in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] liegt

daraus könntest du folgern, dass kein Intervall, dass mehr als einen Punkt enthält nicht mager ist - und damit auch nicht [mm] $\mathbb{R}$ [/mm]



Gruß Thomas

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