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Nochmal Konvergenz: Reihe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Di 05.04.2011
Autor: bandchef

Aufgabe
Überprüfe auf Konvergenz:

[mm] $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\cdot\frac{k^2}{k^3+1}$ [/mm]



Das notwendige Kriterium spuckt eine 0 aus. Also muss ich weiter auf mögliche Konvergenz prüfen. Mit welchem Kriterium mache ich das nun? Wurzel- und Quotientenkriterium erscheint beides also nicht so passen!

        
Bezug
Nochmal Konvergenz: Leibniz-Kriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Di 05.04.2011
Autor: Loddar

Hallo bandchef!


> Das notwendige Kriterium spuckt eine 0 aus.

[ok]


> Mit welchem Kriterium mache ich das nun? Wurzel- und
> Quotientenkriterium erscheint beides also nicht so passen!

Da es sich hier um eine alternierende Reihe handelt, drängt sich förmlich der Herr []Leibniz auf.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Nochmal Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Di 05.04.2011
Autor: bandchef

Das heißt also, ich muss die Reihe darauf hin überprüfen ob die Reihe eine fallende montone Nullfolge ist, oder wie? Wenn ja, dann konvergent die alternierende Reihe.

Richtig?

Bezug
                        
Bezug
Nochmal Konvergenz: richtig erkannt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Di 05.04.2011
Autor: Loddar

Hallo bandchef!


Genau so geht es!


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Nochmal Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 Mi 06.04.2011
Autor: bandchef

Das heißt nun ich muss den Folgenanteil der Reihe auf überprüfen ob diese eine monoton fallende Nullfolge ist. Wie aber macht man das?


Monoton fallend ist ja definiert durch: [mm] $a_{n+1} \leq a_n$. [/mm]

Ich muss also nun den Folgenanteil der Reihe mit der obigen Definition überprüfen: [mm] $\frac{k^2}{k^3+1}$. [/mm]

Wie macht man das?

Bezug
                                        
Bezug
Nochmal Konvergenz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:17 Mi 06.04.2011
Autor: bandchef

Wenn ich nun die Definition anwende komm ich auf das hier:

[mm] $\frac{(k+1)^2}{(k+1)^3+1} \leq \frac{k^2}{k^3+1}$ [/mm]

Nun ist aber an dieser Stelle immer, dass ich nie weiß wie ich ab da jetzt weiter machen muss.

Wie muss umformen?
Nach was muss ich auflösen?
Was sagt mir das Ergebnis?

Bezug
                                                
Bezug
Nochmal Konvergenz: ausmultiplizieren
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:40 Mi 06.04.2011
Autor: Loddar

Hallo bandchef!


Diese Frage sollte nun inzwischen geklärt sein. In den anderen Antworten wurde ja bereits gezeigt, dass es mit Ausmultipluizieren etc. weiter geht.


Gruß
Loddar


Bezug
                                        
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Nochmal Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Mi 06.04.2011
Autor: fred97


> Das heißt nun ich muss den Folgenanteil der Reihe auf
> überprüfen ob diese eine monoton fallende Nullfolge ist.
> Wie aber macht man das?
>  
>
> Monoton fallend ist ja definiert durch: [mm]a_{n+1} \leq a_n[/mm].
>  
> Ich muss also nun den Folgenanteil der Reihe mit der obigen
> Definition überprüfen: [mm]\frac{k^2}{k^3+1}[/mm].
>  
> Wie macht man das?

Wenn Dir gar nichts einfällt, nimm die Holzhammermethode:

[mm]\frac{(k+1)^2}{(k+1)^3+1} \le\frac{k^2}{k^3+1} [/mm]   [mm] \gdw $(k^3+1)(k+1)^2 \le k^2((k+1)^3+1)$ \gdw [/mm]    ...........................    [mm] \gdw [/mm]    A(K)


.............................    bedeutet ausmultiplizieren   und A(k) eine wahre Aussage.

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Nochmal Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Mi 06.04.2011
Autor: bandchef

Gut. Ich hab dann mal alles auf einen Nenner usw. Das sieht dann jetzt so aus:

$ [mm] \frac{(k+1)^2}{(k+1)^3+1} \leq \frac{k^2}{k^3+1} \Leftrightarrow [/mm] ... [mm] \Leftrightarrow \frac{(k+1)^2-k^2[(k+1)^3+1]}{[(k+1)^3+1](k^3+1)} \Leftrightarrow [/mm] ...$

Wie gehts da jetzt weiter? Zähler ausmultiplizieren?

Bezug
                                                        
Bezug
Nochmal Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Mi 06.04.2011
Autor: fred97


> Gut. Ich hab dann mal alles auf einen Nenner usw.


Was soll der Quatsch ?  Den ersten Schritt hab ich Dir doch vorgemachT:




$ [mm] \frac{(k+1)^2}{(k+1)^3+1} \le\frac{k^2}{k^3+1} [/mm] $   $ [mm] \gdw [/mm] $      $ [mm] (k^3+1)(k+1)^2 \le k^2((k+1)^3+1) [/mm] $  


FRED


>  Das sieht
> dann jetzt so aus:
>  
> [mm]\frac{(k+1)^2}{(k+1)^3+1} \leq \frac{k^2}{k^3+1} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \frac{(k+1)^2-k^2[(k+1)^3+1]}{[(k+1)^3+1](k^3+1)} \Leftrightarrow ...[/mm]
>  
> Wie gehts da jetzt weiter? Zähler ausmultiplizieren?


Bezug
                                                
Bezug
Nochmal Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Mi 06.04.2011
Autor: bandchef

Wenn ich nun vollständige ausmultipliziert habe, dann sieht das jetzt so aus:

[mm] $\Leftrightarrow [/mm] ... [mm] \Leftrightarrow -k^4-2k^3+2k+1 \leq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow$ [/mm]

Wie gehts jetzt weiter?

Bezug
                                                        
Bezug
Nochmal Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Mi 06.04.2011
Autor: MathePower

Hallo bandchef,

> Wenn ich nun vollständige ausmultipliziert habe, dann
> sieht das jetzt so aus:
>  
> [mm]\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow -k^4-2k^3+2k+1 \leq 0 \Leftrightarrow[/mm]


Das stimmt nicht ganz:

[mm]-k^4-2k^3\red{-k^{2}}+2k+1 \leq 0[/mm]


>  
> Wie gehts jetzt weiter?


Beweise, daß diese Ungleichung für alle [mm] k \ge 1[/mm] erfüllt ist.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Nochmal Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Mi 06.04.2011
Autor: bandchef

Dass diese Gleichung
$ [mm] -k^4-2k^3\red{-k^{2}}+2k+1 \leq [/mm] 0 $ für $ k [mm] \ge [/mm] 1 $ ist, sieht man ja. Wie soll ich das jetzt konrekt aufschreiben? Muss ich das überhaupt aufschreiben?

Bezug
                                                                        
Bezug
Nochmal Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Mi 06.04.2011
Autor: schachuzipus

Hallo bandchef,

> Dass diese Gleichung
> [mm]-k^4-2k^3\red{-k^{2}}+2k+1 \leq 0[/mm] für [mm]k \ge 1[/mm] ist, sieht
> man ja.

Naja, wenn das deinem Korrektor reicht ...

> Wie soll ich das jetzt konrekt aufschreiben? Muss
> ich das überhaupt aufschreiben?

Na, du hast doch lauter Äquivalenzaussagen gemacht von [mm] $a_{k+1}\le a_k$ [/mm] bis zu [mm] $-k^4-2k^3-k^2+1\le [/mm] 0$

Letzteres ist eine wahre Aussage, damit auch die 1.Zeile, also [mm] $a_{k+1}\le a_k$ [/mm]

Damit ist [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] monoton fallend, außerdem sind alle [mm] $a_k>0$ [/mm]

Also ist die gegebene Reihe gem. Leibniz konvergent.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                        
Bezug
Nochmal Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:17 Do 07.04.2011
Autor: fred97

$ [mm] -k^4-2k^3\red{-k^{2}}+2k+1 \leq [/mm] 0 $  [mm] \gdw [/mm] 2k+1 [mm] \le k^4+2k^3+k^2 [/mm]

Die letzte Ungl. gilt, denn:

           2k+1 [mm] \le 2k^3+1 \le 2k^3+k^2 \le 2k^3+k^2+k^4 [/mm]

FRED

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