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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Di 31.05.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen :)
Ich habe nochmal ne Frage wegen Reihen. Ich weiß zwar jetzt, was für Kriterien es gibt, aber ich bin mir bei der Anwendung noch nicht so sicher. Ich habe hier nochmal 3 Reihen und die soll ich auf absolute Konvergenz, bedingte Konvergenz und Divergenz untersuchen.
a)
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{2+(-1)^{n}}{n^{2}+1}
[/mm]
b)
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{\vektor{2n \\ n}}{2^{3n+1}}
[/mm]
c)
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^{n}}{ \wurzel{n+1}}
[/mm]
Also meine Ideen wären:
a) die sollte konvergieren, allein wegen dem Nenner. Und ich glaub das müsste mit dem Wurzelkriterium gehen. Oder doch mit dem Majoranten. hmm, ich weiß nicht so Recht wie ich rangehen soll.
b) diese Reihe dürfte auch konvergieren. Denn der Exponent wird sich für größere n immer bemerkbarer machen. da müsste man wieder den Zähler umformen können, damit man ne Aussage treffen kann, aber ich weiß nicht so Recht wie.
c) das sieht mir nach Divergenz aus. Denn der Summand kann ja auch negativ sein für ungerade n. Könnte man das vielleicht mit dem Wurzelkriterium machen? da würde der exponent im zähler wegfallen. Und der Nenner würde auch anders aussehen. Hmm aber sicher bin ich mir auch hier nicht.
Hat man so Reihentypen wo man weiß, aha da ist das "n" im Exponent, da brauch ich das Wurzelkriterium oder kann man das so nicht festmachen.
Schon mal vielen Dank!
Ihr helft mir so sehr, wüsste gar nicht, wie ich das sonst verstehen sollte.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Di 31.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Becks!
> Ich habe nochmal ne Frage wegen Reihen. Ich weiß zwar
> jetzt, was für Kriterien es gibt, aber ich bin mir bei der
> Anwendung noch nicht so sicher. Ich habe hier nochmal 3
> Reihen und die soll ich auf absolute Konvergenz, bedingte
> Konvergenz und Divergenz untersuchen.
>
> a)
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{2+(-1)^{n}}{n^{2}+1}[/mm]
Hier hilft das Majorantenkriterium. Die Reihe ist sogar absolut konvergent, denn es gilt:
[mm] $\left| \frac{2+(-1)^n}{n^2+1} \right| \le \frac{3}{n^2}$,
[/mm]
und die Reihe $3 [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ [/mm] konvergiert.
> b)
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{\vektor{2n \\ n}}{2^{3n+1}}[/mm]
Hier gilt das Quotientenkriterium.
Es gilt:
[mm] $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2\cdot 2^3} \right|$.
[/mm]
Ist dir das klar?
Beachte bitte: ${2n [mm] \choose [/mm] n} = [mm] \frac{(2n)!}{(n!)^2}$.
[/mm]
Wie sieht es mit
[mm] $\limsup_{n \ro \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] $
aus?
> c)
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^{n}}{ \wurzel{n+1}}[/mm]
Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert die Reihe (bedingt), denn $n [mm] \mapsto \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ [/mm] ist ja eine monoton fallende Nullfolge nichtnegativer reeller Zahlen. Sie konvergiert aber wegen
[mm] $\frac{1}{\wurzel{n+1}} \ge \frac{1}{n+1}$
[/mm]
und der Divergenz der harmonischen Reihe nicht absolut.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Di 31.05.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo,
hmm, das ist dann irgendwie immer verständlich, wenn man den Schritt in die Richtung sieht. Also die a) ist mir klar. Da gibt es ja die Bedingung für das Majorantenkriterium, welches ja erfüllt ist dafür.
bei der b weiß ich nicht so ganz genau wie man das Quotientenkriterium da anwendet. Ich müsste doch dann den Bruch für n+1 durch den Bruch von n teilen. Aber das müsste doch so einen richtig großen Term ergeben. Das sieht so "handlich" aus bei dir. Ich versteh auch nicht, wie man das "2n über n" so umwandelt.
[mm] \pmat{ 2n \\ n } [/mm] = [mm] \frac{2n!}{(n!)^2}
[/mm]
das ist mir klar, aber den nächsten Schritt kann ich nicht nachvollziehen
[mm] \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2\cdot 2^3} \right| [/mm]
Warum kann man das sagen?
Ausgerechnet ist der Nenner größer als der Zähler, also ist es kleiner als 1. Also konvergiert diese Reihe absolut.
bei der c) glaube ich durchzublicken. Also das sie konvergiert sehe ich, aber warum nur bedingt? Hmm, ich bin jetzt total verwirrt. Wenn ne Reihe konvergiert kann ich das nachvollziehen, und Divergenz auch. Aber bei dem bedingten bin ich total überfragt. Warum ist das nur so halb?
[mm] \frac{1}{\wurzel{n+1}} \ge \frac{1}{n+1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Di 31.05.2005 | | Autor: | terrier |
en par sachen dazu kann ich dir erklären:
1) der binomialkoeffizientist definiert als(fakultät kennst du ja): [mm] \vektor{n\\k} [/mm] = n fakultät/ k kakültät* (n-k)fakultät , was in deinem fall zu 2n fak\ n fak*(2n-n) fak führt=2n [mm] fak\n [/mm] fak*n fak
2)der betrag ergibt sich einfach indem du das folgeglied für n+1 durch das für n teilst und dann kürzt was zu kürzen geht ,bzw aus 2(n+1) fak =(2n+2)*(2n+1)*n fakultät machst , sodass du auch 2n fakultät kürzen kannst
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:00 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo;
Rechne ich heute mal nach. Danke ;)
Könnte mir jemand nochmal das mit divergent und bedingt konvergent erklären. Hab da noch so meine Probleme.
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Becks!
Eine Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ [/mm] heißt (bedingt) konvergent, wenn
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] < + [mm] \infty$.
[/mm]
Sie heißt absolut konvergent, wenn
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n| [/mm] < + [mm] \infty$.
[/mm]
Eine absolut konvergente Reihe ist offenbar auch (bedingt) konvergent; die Umkehrung gilt nicht, wie das Gegenbeispiel
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$
[/mm]
zeigt. Die Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium (bedingt), aber sie konvergiert nicht absolut, da die harmonische Reihe divergiert.
Viele Grüße
Stefan
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