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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Fr 01.07.2005 | | Autor: | SBDevil |
Hi!
Ich hab nochmal eine Frage zur Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen in einem Punkt. Und zwar wird das Zeigen von nicht-stetigkeit ja durch Punktfolgen gemacht.
Aber wie schaut es jetzt bei stetigkeit aus? Für unendlich viele Folgen {an} zeigen dass [mm] f(x,y)=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(an) ist sehr mühsam ;)
ZB.: bei der Funktion
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2*y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=y=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Wie bekomme ich es hin, zu zeigen dass die Funktion in (0,0) stetig ist?
MfG SBDevil
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Hallo SBDevil,
man argumentiert mit Folgen, wenn man die Unstetigkeit einer Funktion beweisen will.
Ist die Funktion stetig, so muss man für alle Folgen die Folgenbedingung zeigen, was, wie du gemerkt hast, nicht geht. Deswegen benutzt man folgenden Satz (wenn möglich):
Satz: Seien (X,d), (Y,d) metrische Räume. Die Funktion f : X [mm] \to [/mm] Y ist genau dann in [mm] x_0 \in [/mm] X stetig, wenn es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] := [mm] \delta(x_0,\epsilon) [/mm] > 0 gibt mit:
[mm] d(f(x_0),f(x)) [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] X mit [mm] d(x_0,x) [/mm] < [mm] \delta.
[/mm]
Hier: f : [mm] \IR^2 \to \IR, f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2\cdot{}y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=y=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Wir zeigen, dass f inm Punkt 0 [mm] \in \IR^2 [/mm] stetig ist.
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 vorgegeben, (x,y) [mm] \in B_{\delta}(0,0), [/mm]
(x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0), dann ist [mm] |(x,y)|^2=x^2+y^2 [/mm] < [mm] \delta^2.
[/mm]
[mm] |f(x,y)-f(0,0)|=|f(x,y)-0|=|f(x,y)|=|\bruch{x^2 \cdot y^2}{x^2+y^2}| \le \bruch{x^4+2x^2y^2+y^4}{x^2+y^2}=x^2+y^2 [/mm] < [mm] \delta^2.
[/mm]
Somit haben wir:
Zu jedem [mm] \epsilon(=\delta^2) [/mm] > 0 gibt es ein [mm] \delta [/mm] := [mm] \delta(x_0,\epsilon) [/mm] > 0 mit:
|f(x,y)-f(0,0)| < [mm] \epsilon [/mm] für alle (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] mit |(x,y)-(0,0)| < [mm] \delta.
[/mm]
Also ist f in (0,0) stetig.
gruss,
logarithmus
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