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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:56 Di 08.05.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Beweisen Sie: V ist Vektorraum über R, ||x|| eine Norm auf V.
a) ||0|| = 0 (In dem Fall bezeichnet 0 den Nullvektor und die reelle Zahl 0)
b) $ | ||x|| - ||y|| | [mm] \le [/mm] ||x-y|| [mm] \forall x,y\in [/mm] V$ |
Hoi.
a) Hier habe ich es versucht, so zu machen
d(x,x) = ||x-x|| = ||0|| = 0
||0|| [mm] \in [/mm] V, 0 [mm] \in \R
[/mm]
b) $| ||x||-||y|| | [mm] \le [/mm] ||x-y||$
x = x-y+y
||x|| [mm] \le [/mm] ||x-y||+||y||-||y||
||x||-||y|| [mm] \le [/mm] ||x-y||
Geht das so? Dann habe ich noch
||y|| = |x+y-x|
||y|| [mm] \le [/mm] ||x+y||+||x||
||y||-||x|| [mm] \le [/mm] ||x+y||
||y||-||x|| [mm] \le [/mm] ||x+y||
Danke, Wehm
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> Beweisen Sie: V ist Vektorraum über R, ||x|| eine Norm auf
> V.
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> a) ||0|| = 0 (In dem Fall bezeichnet 0 den Nullvektor und
> die reelle Zahl 0)
>
> b) [mm]| ||x|| - ||y|| | \le ||x-y|| \forall x,y\in V[/mm]
Hallo,
ich gehe stark davon aus, daß "V ist Vektorraum über R, ||x|| eine Norm auf V" und nicht die zu beweisende Tatsache, was zur Folge hat, daß man die Eigenschaften der Norm verwenden kann.
>
> a) Hier habe ich es versucht, so zu machen
>
> d(x,x) = ||x-x|| = ||0|| = 0
>
> ||0|| [mm]\in[/mm] V, 0 [mm]\in \R[/mm]
Von einem d ist hier nirgendwo die Rede, und auch nicht davon, daß ||.|| die von d induzierte Norm ist.
Aber es ist ja vorausgesetzt, daß ||.|| eine Norm ist.
Nun weiß ich nicht, wie Ihr die Bedingungen aufgeschrieben habt.
Wenn Ihr es so definiert habt:
1. [mm] \|x\| [/mm] = 0 [mm] \;\Leftrightarrow\; [/mm] x = 0 (Definitheit) dann bist Du ja sofort fertig.
Aber manchmal heißt es auch [mm] ||x||\ge [/mm] 0 für alle x, mich dünkt, das ist bei Euch so...
Dann mußt Du die Homogenität bemühen:
2. [mm] \|\alpha\cdot x\| [/mm] = [mm] |\alpha|\cdot\|x\| [/mm] (Homogenität)
||0||=||0*x||= usw.
>
> b) [mm]| ||x||-||y|| | \le ||x-y||[/mm]
Den Anfang hast Du richtig gemacht.
Es ist
>
> x = x-y+y
also ||x||=||x-y+y||.
Mit der Dreiecksungleichung erhält man hieraus
>
> ||x|| [mm]\le[/mm] ||x-y||+||y||-||y||,
also ist
>
> ||x||-||y|| [mm]\le[/mm] ||x-y||.
>
> Geht das so?
Bisher ist das richtig.
Schreib bitte kleine verbindende Texte oder zumindest Stichpunkte, woran man den Verlauf der Gedanken verfolgen kann.
Der ausdrückliche Hinweis auf die Dreiecksungleichung ist wichtig.
Kleine Erklärungen helfen dem Leser - und einem selbst, weil man sich immer wieder Rechenschaft übers Tun ablegen muß. Man beschummelt sich nicht so leicht - die Korrektoren zu beschummeln, gelingt fast nie...
Dann habe ich noch
>
> ||y|| = [s]|x+y-x|[s]
=||x+y-x||
==> (Dreiecksungleichung)
> ||y|| [mm]\le[/mm] ||x+y||+||x||
Das war jetzt aber nicht zielstrebig. Du willst doch eigentlich irgendwas mit ||x-y|| herausbekommen! Da muß man draufhinarbeiten.
So:
||y|| [mm] =||x+y-x||\le [/mm] ||x||+||y-x|| =||x||+||-(x-y)|| =||x||+||x-y|| (warum stimmt der letzte Schritt?
<==>||y|| - ||x|| [mm] =\le [/mm] ||x-y||
Insgesamt hat man jetzt
<==>||x||-||y|| [mm]\le[/mm] ||x-y|| und ||y|| - ||x|| [mm] =\le [/mm] ||x-y||
<==>||x||-||y|| [mm]\le[/mm] ||x-y|| und ||x||-||y|| [mm]\ge[/mm] -||x-y||
<==> ???
Gruß v. Angela
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