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| Aufgabe | Seien X ein normierter Raum und [mm] $x\in [/mm] X$. Beweisen sie, dass
[mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel=\max M_x$, [/mm] mit [mm] $M_x=\{|\phi(x)|: \phi\inX' und \parallel \phi\parallel =1\}$
[/mm]
gilt! |
Hi!
Sei zunächst x=0.
Dann ist für alle [mm] $\phi \in [/mm] X'$ mit [mm] $\parallel \phi \parallel=1$:
[/mm]
[mm] $|\phi(x)|=|\phi(0)|\leq\parallel \phi\parallel\parallel 0\parallel [/mm] =0$
und damit
[mm] $\max M_x=0=\parallel 0\parallel=\parallel x\parallel$
[/mm]
Nun sei [mm] $x\neq [/mm] 0$
Also meine Idee ist, dass ich sowohl [mm] $\parallel x\parallel \leq \max M_X$, [/mm] als auch [mm] $\parallel x\parallel \geq \max M_X$ [/mm] zeige.
Zuerst [mm] $\parallel x\parallel$ \leq [/mm] max [mm] M_x$:
[/mm]
Nach einer Folgerung aus dem Fortsetzungssatz von Hahn Banach gibt es für jedes [mm] $x\inX, x\neq0$ [/mm] ein lineares Funktional [mm] $f\inX'$ [/mm] mit [mm] $\parallel f\parallel=1$ [/mm] und [mm] $f(x)=\parallel x\parallel$. [/mm] Für diese $f$ gilt aber:
[mm] $f\in M_x$.
[/mm]
Also ist [mm] $\max M_x\geq f(x)=\parallel x\parallel$
[/mm]
Andererseits gilt aber für festes [mm] $x\in [/mm] X$ und für alle [mm] $\phi \in [/mm] X'$ mit [mm] $\parallel \phi\parallel [/mm] =1$:
[mm] $|\phi(x)|\leq\parallel\phi\parallel \parallelx\parallel =\parallel [/mm] x [mm] \parallel$
[/mm]
Also gilt auch:
[mm] $\max M_x\leq \parallel x\parallel$
[/mm]
Und damit folgt die Behauptung!
Ist das so richtig? Oder hab ich da was übersehen?
Gruß
Deuterinomium
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mi 24.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Seien X ein normierter Raum und [mm]x\in X[/mm]. Beweisen sie, dass
> [mm]\parallel x \parallel=\max M_x[/mm], mit [mm]M_x=\{|\phi(x)|: \phi\inX' und \parallel \phi\parallel =1\}[/mm]
>
> gilt!
> Hi!
> Sei zunächst x=0.
> Dann ist für alle [mm]\phi \in X'[/mm] mit [mm]\parallel \phi \parallel=1[/mm]:
>
> [mm]|\phi(x)|=|\phi(0)|\leq\parallel \phi\parallel\parallel 0\parallel =0[/mm]
>
> und damit
> [mm]\max M_x=0=\parallel 0\parallel=\parallel x\parallel[/mm]
>
> Nun sei [mm]x\neq 0[/mm]
> Also meine Idee ist, dass ich sowohl
> [mm]\parallel x\parallel \leq \max M_X[/mm], als auch [mm]\parallel x\parallel \geq \max M_X[/mm]
> zeige.
>
> Zuerst [mm]$\parallel x\parallel$ \leq[/mm] max [mm]M_x$:[/mm]
>
> Nach einer Folgerung aus dem Fortsetzungssatz von Hahn
> Banach gibt es für jedes [mm]x\inX, x\neq0[/mm] ein lineares
> Funktional [mm]f\inX'[/mm] mit [mm]\parallel f\parallel=1[/mm] und
> [mm]f(x)=\parallel x\parallel[/mm]. Für diese [mm]f[/mm] gilt aber:
> [mm]f\in M_x[/mm].
> Also ist [mm]\max M_x\geq f(x)=\parallel x\parallel[/mm]
>
> Andererseits gilt aber für festes [mm]x\in X[/mm] und für alle [mm]\phi \in X'[/mm]
> mit [mm]\parallel \phi\parallel =1[/mm]:
>
> [mm]|\phi(x)|\leq\parallel\phi\parallel \parallelx \parallel =\parallel x \parallel[/mm]
Da hast Du ein x vergessen, richtig:
[mm]|\phi(x)|\leq\parallel\phi\parallel \parallel x \parallel =\parallel x \parallel[/mm]
>
> Also gilt auch:
> [mm]\max M_x\leq \parallel x\parallel[/mm]
>
> Und damit folgt die Behauptung!
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> Ist das so richtig? Oder hab ich da was übersehen?
Nein, sieht sehr gut aus
FRED
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> Gruß
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> Deuterinomium
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