Norm Stetigkeit Beweis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Sa 01.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $||\cdot|| $ eine beliebige Norm auf dem $\IR^{n}$ Zeigen Sie, dass die Abbildung $N:\IR^{n}\rightarrow \IR, N(x) = ||x||$ stetig ist. (Dabei ist die Konvergenz im $\IR^{n}$ komponentenweise definiert).
b) Sei $f=(f_{1},...,f_{n})^{T}:[a,b]\rightarrow \IR^{n}$ eine Abbildung, $-\infty < a < b < \infty$ Per Definition heisst f R-integrierbar über $[a,b]$ falls jede Komponente $f_{i}$ R-integrierbar über $[a,b]$ ist. In diesem Fall ist $\int_{a}^{b} f(x)dx = (\int_{a}^{b}f_{1}(x)dx,...,\int_{a}^{b}f_{n}(x)dx)^{T}$.
Zeigen Sie, dass für $f\in C^{0}([a,b],\IR^{n})$ gilt:
Sei $||\cdot||$ eine beliebige Norm auf dem $\IR^{n}$, dann ist:
$||\int_{a}^{b}f(x)dx || \le \int_{a}^{b} ||f(x)||dx$ |
Hallo,
a) es ist : $||y||= ||y-x+x|| \le ||y-x||+||x|| \gdw \big| ||y||-||x|| \big| \le ||y-x|| \ \ \forall x,y\in \IR^{n}$
Mit $f(x)=||x||$ und $\delta := \epsilon$ folgt $\forall \ \epsilon> 0 \ \ \exists \delta > 0 : ||x-x_{0}|| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y) | < \epsilon $
b)Es ist $\Pi = \{ B_{1},..., B_{p}\}$ eine Partition von $[a,b]$ in Teilintervalle , das heisst $B_{1} \cup B_{2}... \cup B_{p} = [a,b]$ und die $B_{i}$ haben keine gemeinsamen inneren Punkte. Sei für jedes $i\in \{1,...,p\}$ eine Stützstelle $x_{i} \in B_{i}$ und damit die Riemann Summe bezüglich $\Pi$ und $x=(x_{1},...,x_{p})$ definiert als:
$R_{\Pi, x}(f) := \sum_{i=1}^{p} f(x_{i}) \cdot V(B_{i})$
wobei $V(B_{i})$ für das Volumen des Intervalls $B_{i}$ steht. Bezeichne die Partition $\Pi$ mit $s(\Pi)$ die grösste Länge (grösste Kantenlange) von den Intervallen in $\Pi$, dann heisst f Riemann-integrierbar, falls für jede Folge $(\Pi_{k})_{k\in \IN}$ von Partitionen mit $\lim_{k\rightarrow \infty} s(\Pi_{k})$ und für jede Folge $(x_{k})_{k\in \IN$ (wobei jedes $x_{k}$ eine Stützstellenmenge von Punkte in $\Pi_{k}$ ist), der Limes :
$\lim_{k\rightarrow \infty} R_{\Pi_{k},x^{k}}(f)$
existiert und unabhängig von der Wahl der Partitionen und Stützstellen ist. Dieser Limes ist dann $\int _{a} ^{b} f(x) dx$.
Mit Aufgabe (a) bedeutet dies : $\forall (x_{n})_{n} \rightarrow x \Rightarrow lim_{n\rightarrow \infty} ||x_{n}|| = ||lim_{n\rightarrow \infty} x_{n} || = ||x||$
und damit folgt die Behauptung aus b).
Ist das so richtig?
Bin für jegliche Hilfestellung sehr dankbar!
Gruss
kushkush
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Sa 01.10.2011 | | Autor: | Helbig |
In Teil a) der Aufgabe ist die Definition der Konvergenz im [mm] $\IR^n$ [/mm] überflüssig. Die Konvergenz ist ja schon durch die Norm definiert.
In Deiner Lösung hast Du $||y||-||x|| [mm] \le [/mm] ||y - x||$ gezeigt. Daraus folgt aber noch nicht [mm] $\bigl|||y||-||x||\bigr| \le [/mm] ||y-x||. $
zu b) Was ist [mm] $B_i$? [/mm] Die Treppenfunktionen und Riemannsummen braucht man hier nicht. Du mußt zunächst nur zeigen, daß die Integrale auf beiden Seiten der Ungleichung existieren. Für das linke Integral muß jede Komponente von $f$ integriebar sein und für das rechte die Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] ||f(x)||$. Hierbei ist a) nützlich.
Weiter weiß ich im Moment leider auch nicht. Aber versuche doch mal, die Ungleichung ohne Riemannsummen zu zeigen.
viel Erfolg,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Sa 01.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Wolfgang,
> definition der konvergenz
Ich sehe nicht welche Definition du meinst. Ich meinte die Stetigkeit in a) Also umgeschrieben so:
$f(x)=||x||$ ist stetig auf [mm] $\IR^{n}\rightarrow \IR$ [/mm] weil mit [mm] $\delta [/mm] := [mm] \epsilon [/mm] $ : [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 \ [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : \ [mm] \forall x\in \IR^{n} [/mm] $ mit [mm] $||x-x_{0}|| [/mm] < [mm] \delta [/mm] $ folgt $|| [mm] f(x)-f(x_{0})|| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \delta$
[/mm]
> noch nicht gezeigt
$(1) : ||y|| = ||y+x-x|| [mm] \le [/mm] ||y-x||+||x|| [mm] \gdw [/mm] ||y||-||x|| [mm] \le [/mm] ||y-x||$
$(2) : ||x|| = ||x+y-y|| [mm] \le [/mm] ||x-y||+||x|| [mm] \gdw [/mm] ||x||-||y|| [mm] \le [/mm] ||x-y||$
mit (1) und (2) folgt : $ | ||y||-||x|| | [mm] \le [/mm] ||y-x||$
> was ist [mm] B_{i}
[/mm]
Dieser Teil der Definition hat gefehlt. Sorrie. Ich habe dies im ersten Post auch ergänzt: Es ist [mm] $\Pi [/mm] = [mm] \{ B_{1},..., B_{p}\}$ [/mm] eine Partition von $[a,b]$ in Teilintervalle , das heisst [mm] $B_{1} \cup B_{2}... \cup B_{p} [/mm] = [a,b]$ und die [mm] $B_{i}$ [/mm] haben keine gemeinsamen inneren Punkte.
> ohne Riemann Summe
sei $f(x) = ||x||$ und g auf dem Intervall $[a,b]$ riemann integrierbar, dann ist [mm] $f\circ [/mm] g = ||g|| [mm] \in \IR[a,b]$
[/mm]
es ist : $g [mm] \le [/mm] || g|| , -g [mm] \le [/mm] ||g||$ damit und den Eigenschaften des bestimmten Integrals folgt:
[mm] $\int_{a}^{b}g(x) [/mm] dx [mm] \le \int_{a}^{b}||g(x)||dx [/mm] $ und [mm] $\int_{a}^{b} [/mm] (-g(x))dx [mm] \le \int_{a}^{b} [/mm] ||g(x)||dx $
damit ist :
$|| [mm] \int_{a}^{b} [/mm] g(x) dx || [mm] \le \int_{a}^{b} [/mm] ||g(x)||dx$
das ist wohl Unsinn..
> riemann summe
mit riemann summe:
[mm] $||\int_{a}^{b} [/mm] f(x) dx || = [mm] ||\lim_{k\rightarrow \infty} R_{\Pi_{k},x^{k}} [/mm] || [mm] \le \lim_{k \rightarrow \infty} ||R_{\Pi_{k},x^{k}}|| [/mm] = [mm] \int_{a}^{b} [/mm] ||f(x)|| dx$
die Ungleichheitszeichen folgt daraus, dass f(x) riemann integrierbar ist und deswegen die Dreiecksungleichung angewendet werden kann.
> Wolfgang
Vielen Dank!!!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 So 02.10.2011 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> > definition der konvergenz
>
> Ich sehe nicht welche Definition du meinst.
Ich meinte die Definition in der Aufgabenstellung, nicht in Deinem Lösungsvorschlag.
> [mm](1) : ||y|| = ||y+x-x|| \le ||y-x||+||x|| \gdw ||y||-||x|| \le ||y-x||[/mm]
>
> [mm](2) : ||x|| = ||x+y-y|| \le ||x-y||+||x|| \gdw ||x||-||y|| \le ||x-y||[/mm]
Bis auf ein Tippfehlerchen...
> > ohne Riemann Summe
>
> sei [mm]f(x) = ||x||[/mm] und g auf dem Intervall [mm][a,b][/mm] riemann
> integrierbar, dann ist [mm]f\circ g = ||g|| \in \IR[a,b][/mm]
>
> es ist : [mm]g \le || g|| , -g \le ||g||[/mm] damit und den
> Eigenschaften des bestimmten Integrals folgt:
>
> [mm]\int_{a}^{b}g(x) dx \le \int_{a}^{b}||g(x)||dx[/mm] und
> [mm]\int_{a}^{b} (-g(x))dx \le \int_{a}^{b} ||g(x)||dx[/mm]
>
> damit ist :
> [mm]|| \int_{a}^{b} g(x) dx || \le \int_{a}^{b} ||g(x)||dx[/mm]
>
> das ist wohl Unsinn..
Stimmt. Ich meinte auch die Riemannintegrierbarkeit von $||f(x)||$. $f$ ist stetig (Voraussetzung), die Norm ist stetig (Teil a), und damit ist [mm] $x\mapsto [/mm] ||f(x)||$ als Verkettung stetiger Funktionen stetig und somit integriebar.
> mit riemann summe:
>
>
> [mm]||\int_{a}^{b} f(x) dx || = ||\lim_{k\rightarrow \infty} R_{\Pi_{k},x^{k}} || \le \lim_{k \rightarrow \infty} ||R_{\Pi_{k},x^{k}}|| = \int_{a}^{b} ||f(x)|| dx[/mm]
>
> die Ungleichheitszeichen folgt daraus, dass f(x) riemann
> integrierbar ist und deswegen die Dreiecksungleichung
> angewendet werden kann.
Den Satz kenne ich nur für Beträge und reelle Funktionen, aber nicht für Normen und Vektorfunktionen. Mir scheint, daß die Aufgabe darin besteht, genau dies nachzuweisen.
Für die Maximumsnorm ($||v|| := [mm] \max |v_n|$ [/mm] wobei $ [mm] v=(v_n)\in\IR^n$) [/mm] könnte ich das:
[mm] $\left |\int f_n(x) dx\right| \le \int |f_n(x)|dx\le \int [/mm] ||f(x)|| [mm] dx\Rightarrow \left |\left|\int f(x) dx\right|\right|\le \int [/mm] ||f(x)|| dx$. Für beliebige Normen ist es etwas schwieriger. Dafür braucht man tatsächlich Treppenfunktionen. Am besten Du zeigst zunächst die Ungleichung für Integrale über Treppenfunktionen, also Summen.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:48 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> Bis auf ein Tippfehlerchen...
$ (2) : ||x|| = ||x+y-y|| [mm] \le [/mm] ||x-y||+||y|| [mm] \gdw [/mm] ||x||-||y|| [mm] \le [/mm] ||x-y|| $
> also Summen.
b)
(1): da f stetig ist auch [mm] $||f||:[a,b]\rightarrow \IR, x\mapsto [/mm] ||fx||$ stetig (Komposition stetiger Funktionen).
Man wähle nun die Partitionenfolge [mm] $(\Pi_{k})_{k\in \IN}$ [/mm] mit [mm] $lim_{k\rightarrow \infty} s(\Pi_{k}) [/mm] = 0$ mit [mm] $\Pi_{k}= (B_{1}^{k},...,B_{p_{k}}^{k})$ [/mm] und eine Folge [mm] $(x^{k})_{k\in \IN}$ [/mm] mit jedem [mm] $x^{k}= \{x^{k}_{1},...,x^{k}_{p_{k}}}$ [/mm] eine Stützstellenmenge von Punkten in [mm] $\Pi_{k}$. [/mm]
Nun hat man:
[mm] $||\int_{a}^{b}f(x)dx [/mm] || = || [mm] lim_{k\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{p_{k}} f(x_{i}^{k}) \cdot V(B_{i}^{k}) [/mm] || [mm] \underbrace{=}_{(1)} \lim_{k\rightarrow \infty} [/mm] || [mm] \sum_{i=1}^{p_{k}} f(x_{i}^{k}) \cdot V(B_{i}^{k})|| \underbrace{=}_{Dreicks.ungl.} lim_{k\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{p_{k}} ||f(x_{i}^{k}) \cdot V(B_{i}^{k}) [/mm] || = [mm] \lim _{k\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{p_{k}}||f(x_{i}^{k})|| V(B_{i}^{k}) [/mm] = [mm] \int_{a}^{b} [/mm] ||f(x)||dx$
damit ist die Behauptung gezeigt.
> Grüsse Wolfgang
Vielen Dank für deine Hilfe!!!!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
