Norm beweisen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Fr 16.04.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Für [mm] x=(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3 [/mm] definieren wir ||x||= [mm] max{|x_1|,|x_2|,|x_3|}
[/mm]
Zeigen Sie, dass ||.|| eine Norm auf [mm] \IR^3 [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
wollte folgende Aufgabe bearbeiten aber ich weiß noch nicht ganz wie ich beweise das etwas eine Norm ist.
Soll ja bestimmt folgende dinge zeigen:
1. ||x||=0 -> x=0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^3
[/mm]
2. || [mm] \lambda [/mm] * x||= [mm] |\lambda| [/mm] ||x|| [mm] \forall \lambda, [/mm] x [mm] \in \IR^3
[/mm]
3. ||x+y|| [mm] \le [/mm] ||x|| + ||y||
Stimmt doch oder?
Aber wie zeige ich dass denn für dieses Bsp.?
[mm] ||x_1+x_2+x_3|| [/mm] =0 ?
Wäre toll wenn mir jmd nen Tipp geben könnte!!
Danke
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Hallo Peter,
> Für [mm]x=(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3[/mm] definieren wir ||x||=
> [mm]max{|x_1|,|x_2|,|x_3|}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass ||.|| eine Norm auf [mm]\IR^3[/mm] ist.
> Hallo zusammen,
>
> wollte folgende Aufgabe bearbeiten aber ich weiß noch
> nicht ganz wie ich beweise das etwas eine Norm ist.
>
> Soll ja bestimmt folgende dinge zeigen:
>
> 1. ||x||=0 -> x=0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR^3[/mm]
> 2. || [mm]\lambda[/mm] * x||=
> [mm]|\lambda|[/mm] ||x|| [mm]\forall \lambda,[/mm] x [mm]\in \IR^3[/mm]
> 3. ||x+y||
> [mm]\le[/mm] ||x|| + ||y||
>
> Stimmt doch oder?
> Aber wie zeige ich dass denn für dieses Bsp.?
>
> [mm]||x_1+x_2+x_3||[/mm] =0 ?
Wie kommst du auf diesen Ausdruck?
Ich nehme an, du willst hier zeigen, dass [mm] $||x||=0\gdw [/mm] x=0$ mit [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)^T$
[/mm]
Nimm also an, dass $||x||=0$ gilt, dh. nach der obigen Definition: [mm] $\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}=0$
[/mm]
Sei o.B.d.A. [mm] $|x_1|$ [/mm] dieses Maximum, dann ist [mm] $|x_1|=0=x_1\ge |x_2|,|x_3|$
[/mm]
Klar, warum das [mm] $\ge$ [/mm] gilt?
Was folgt damit für [mm] $x_2,x_3$?
[/mm]
Umgekehrt sei [mm] $x=(0,0,0)^T$, [/mm] was ist dann [mm] $\max\{|x_i|\}$, [/mm] also $||x||$ ?
>
> Wäre toll wenn mir jmd nen Tipp geben könnte!!
Für 2) schreibe dir mal auf, wie [mm] $\lambda\cdot{}x$ [/mm] aussieht ...
Dann ist es sofort klar
Die [mm] \triangle-Ungleichung [/mm] ist auch nicht schwer.
Probiere nun mal, ob du mit dem vorgerechneten Punkt das Prinzip hast ...
> Danke
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Fr 16.04.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Danke schonmal für die schnelle Antwort.
Also zu [mm] |x_1|=0=x_1\ge |x_2|,|x_3| [/mm]
das [mm] \ge [/mm] gilt glaub ich weil [mm] x_1 [/mm] ja das Maximum hier sein soll und damit müssen [mm] |x_2|,|x_3| [/mm] kleiner oder halt gleich [mm] |x_1| [/mm] sein.
Und für [mm] x_2,x_3 [/mm] folgt dann glaub ich, dass diese auch 0 sein müssen da [mm] x_1=0 [/mm] ja das Maximum ist und für [mm] |x_2|,|x_3| [/mm] ja nur eine nichtnegative relle Zahl rauskommen kann und deshalb müsste es 0 sein oder?
Aber muss ich das nicht auch noch irgendwie zeigen oder begründen?
Jedoch ist mir grade aufgefallen, dass mir nicht ganz klar ist was du mit "
Umgekehrt sei [mm] x=(0,0,0)^T [/mm] , was ist dann [mm] \max\{|x_i|\} [/mm] , also ||x|| " gemeint hast...
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Hallo nochmal,
> Danke schonmal für die schnelle Antwort.
>
> Also zu [mm]|x_1|=0=x_1\ge |x_2|,|x_3|[/mm]
> das [mm]\ge[/mm] gilt glaub ich weil [mm]x_1[/mm] ja das Maximum hier sein
> soll und damit müssen [mm]|x_2|,|x_3|[/mm] kleiner oder halt gleich
> [mm]|x_1|[/mm] sein. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und für [mm]x_2,x_3[/mm] folgt dann glaub ich, dass diese auch 0
> sein müssen da [mm]x_1=0[/mm] ja das Maximum ist und für
> [mm]|x_2|,|x_3|[/mm] ja nur eine nichtnegative relle Zahl
> rauskommen kann und deshalb müsste es 0 sein oder?
Ganz genau so ist es!
> Aber muss ich das nicht auch noch irgendwie zeigen oder
> begründen?
Nö, das ist dann schon klar ...
> Jedoch ist mir grade aufgefallen, dass mir nicht ganz klar
> ist was du mit "
> Umgekehrt sei [mm]x=(0,0,0)^T[/mm] , was ist dann [mm]\max\{|x_i|\}[/mm] ,
> also ||x|| " gemeint hast...
Nun, das ist die Richtung [mm] "$[\Leftarrow]$"
[/mm]
Es ist meines Wissens doch eine Äquivalenz zu zeigen:
[mm] $||x||=0\gdw [/mm] x=0$
[mm] "$[\Rightarrow]$" [/mm] ist der obere Teil, die andere Richtung beginnt mit "umgekehrt ..."
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Fr 16.04.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Ach okay! Stimmt hast recht
Also sei [mm] x=(0,0,0)^T
[/mm]
->||x||=max{|0|,|0|,|0|}
-> [mm] max{|x_i|}=max{|0|}=0=||x||
[/mm]
geht das so?
Aber zzg. [mm] ||\lambda x||=|\lambda| [/mm] ||x|| find ich schwer
[mm] \lambda [/mm] x = [mm] \lambda (x_1,x_2,x_3)
[/mm]
|| [mm] \lambda [/mm] x||= [mm] \wurzel{ \lambda * (x_1,x_2,x_3)} [/mm]
wird das so irgendwie gemacht?
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Hallo nochmal,
> Ach okay! Stimmt hast recht
>
> Also sei [mm]x=(0,0,0)^T[/mm]
> ->||x||=max{|0|,|0|,|0|}
> -> [mm]max{|x_i|}=max{|0|}=0=||x||[/mm]
> geht das so?
>
> Aber zzg. [mm]||\lambda x||=|\lambda|[/mm] ||x|| find ich schwer
Nein, ist es nicht 
Du musst dir nur mal [mm] $\lambda [/mm] x$ hinschreiben!
Das hatte ich dir empfohlen, du hast es aber nicht getan.
>
> [mm]\lambda[/mm] x = [mm]\lambda (x_1,x_2,x_3)[/mm]
> || [mm]\lambda[/mm] x||= [mm]\wurzel{ \lambda * (x_1,x_2,x_3)}[/mm]
> wird das so irgendwie gemacht?
Woher kommt die Wurzel?
Du musst dich schon an die gegebenen Dinge halten, die Norm ist doch als [mm] $\max$ [/mm] definiert.
Ok, langsam an:
Es ist [mm] $\lambda\cdot{}x=\lambda\cdot{}(x_1,x_2,x_3)^T=(\lambda x_1,\lambda x_2, \lambda x_3)^T$
[/mm]
Nun sei wieder o.E. [mm] $\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}=|x_1|$ [/mm] wie wir das oben schon mal hatten.
Dann ist [mm] $|x_1|\ge |x_2|,|x_3|$
[/mm]
Also [mm] $|\lambda x_1|\ge |\lambda x_2|,|\lambda x_3|$
[/mm]
Also [mm] $\red{||\lambda x||}=\max\{|\lambda x_i|\}=|\lambda x_1|=|\lambda|\cdot{}|x_1|$ [/mm] (reeller Betrag!)
[mm] $=|\lambda|\cdot{}\max\{|x_i|\}=\red{|\lambda|\cdot{}||x||}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Fr 16.04.2010 | | Autor: | peeetaaa |
okay danke das ist einleuchtend.
zu 3)
zzg: ||x+y|| [mm] \le [/mm] ||x||+||y||
sei [mm] x=(x_1,x_2,x_3)^T [/mm] mit [mm] ||x||=max{|x_1|,|x_2|,|x_3|} [/mm] und
[mm] y=(y_1,y_2,y_3)^T [/mm] mit [mm] ||y||=max{|y_1|,|y_2|,|y_3|} [/mm]
||x+y|| = [mm] ||(x_1,x_2,x_3)^ [/mm] + [mm] (y_1,y_2,y_3)^T||
[/mm]
= [mm] |(x_1+ y_1,x_2 [/mm] + [mm] y_2,x_3 [/mm] + [mm] y_3)^T||
[/mm]
ist das bis jetzt so richtig?
muss ich jetzt wieder das [mm] max{|x_1|,|x_2|,|x_3|}= |x_1| [/mm] ?
aber wie komm ich dann auf ||x+y|| [mm] \le [/mm] ||x|| + ||y||
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Hallo!
> okay danke das ist einleuchtend.
>
> zu 3)
> zzg: ||x+y|| [mm]\le[/mm] ||x||+||y||
> sei [mm]x=(x_1,x_2,x_3)^T[/mm] mit [mm]||x||=max{|x_1|,|x_2|,|x_3|}[/mm]
> und
> [mm]y=(y_1,y_2,y_3)^T[/mm] mit [mm]||y||=max{|y_1|,|y_2|,|y_3|}[/mm]
>
> ||x+y|| = [mm]||(x_1,x_2,x_3)^[/mm] + [mm](y_1,y_2,y_3)^T||[/mm]
> = [mm]|(x_1+ y_1,x_2[/mm] + [mm]y_2,x_3[/mm] + [mm]y_3)^T||[/mm]
> ist das bis jetzt so richtig?
Ja.
> aber wie komm ich dann auf ||x+y|| [mm]\le[/mm] ||x|| + ||y||
Wende zunächst die Norm an:
$= [mm] max\{|x_{1}+y_{1}|,|x_{2}+y_{2}|,|x_{3}+y_{3}|\}$
[/mm]
Nutze die Dreiecksungleichung für Beträge!
Es gilt [mm] $|x_{i}+y_{i}| \le |x_{i}|+|y_{i}|$.
[/mm]
Danach solltest du überlegen, warum du die Maxima so auseinanderziehen kannst, wie du es brauchst (Hinweis: Beim "Auseinanderziehen" ist kein "=", sondern " [mm] \le [/mm] ")
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Sa 17.04.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Danke schonmal
Also jetzt hab ich das so aufgeschrieben:
||x+y|| = || [mm] (x_1,x_2,x_3)^T [/mm] + [mm] (y_1,y_2,y_3)^T||
[/mm]
= || [mm] (x_1 [/mm] + [mm] y_1,x_2+ y_2,x_3+ y_3)^T [/mm] ||
= [mm] max\{|x_{1}+y_{1}|,|x_{2}+y_{2}|,|x_{3}+y_{3}|\}
[/mm]
= [mm] max\{|x_{i}+y_{i}|\}
[/mm]
[mm] \le max\{|x_{i}|\} [/mm] + [mm] max\{|y_{i}|\} [/mm] = [mm] |x_i| +|y_i|= [/mm] ||x|| +||y||
geht das so? oder muss ich vllt wieder ein Maximum für [mm] x_i [/mm] und [mm] y_i [/mm] auswählen und das damit machen?
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Hallo,
> Danke schonmal
>
> Also jetzt hab ich das so aufgeschrieben:
>
> ||x+y|| = || [mm](x_1,x_2,x_3)^T[/mm] + [mm](y_1,y_2,y_3)^T||[/mm]
> = || [mm](x_1[/mm] + [mm]y_1,x_2+ y_2,x_3+ y_3)^T[/mm] ||
> =
> [mm]max\{|x_{1}+y_{1}|,|x_{2}+y_{2}|,|x_{3}+y_{3}|\}[/mm]
> = [mm]max\{|x_{i}+y_{i}|\}[/mm]
> [mm]\le max\{|x_{i}|\}[/mm] + [mm]max\{|y_{i}|\}[/mm] [mm] =\red{|x_i| +|y_i|}=
[/mm]
> ||x|| +||y||
>
> geht das so? oder muss ich vllt wieder ein Maximum für [mm]x_i[/mm]
> und [mm]y_i[/mm] auswählen und das damit machen?
Nein, das ist so richtig, wie es da steht.
Allerdings kann ich mit dem rotmarkierten beim besten Willen nichts anfangen. Was soll das sein?
[mm] max\{|x_{i}|\} [/mm] + [mm] max\{|y_{i}|\} [/mm] ist doch schon die Summe der beiden Normen, den roten Schritt musst du weglassen.
So aus Interesse: Hast du verstanden, warum da ein " [mm] \le [/mm] " steht?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Sa 17.04.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Gut dann lass ich den roten Schritt einfach weg aber dann stimmts oder?
Naja das [mm] "\le" [/mm] steht doch da weil halt die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe der Länge zweier Seiten (|x|+|y|) immer größer/länger ist als der "direkte" weg also das |x+y| oder etwa nicht?
habe grade gesehen, dass die norm 3 striche also [mm] |||x|||=max{|x_1|,|x_2|,|x_3|} [/mm] lautet! ändert sich dadurch etwas?
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Hallo!
> Gut dann lass ich den roten Schritt einfach weg aber dann
> stimmts oder?
>
> Naja das [mm]"\le"[/mm] steht doch da weil halt die
> Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe der Länge
> zweier Seiten (|x|+|y|) immer größer/länger ist als der
> "direkte" weg also das |x+y| oder etwa nicht?
Ja, das ist die Begründung für das erste " [mm] \le [/mm] ". (Das du übrigens oben in deinem Beweis nicht hingeschrieben hast, das habe ich übersehen!)
> habe grade gesehen, dass die norm 3 striche also
> [mm]|||x|||=max{|x_1|,|x_2|,|x_3|}[/mm] lautet! ändert sich dadurch
> etwas?
Nein. Das sind doch nur Formalitäten.
Der Beweis muss ausgeführt so lauten (ich mach's jetzt trotzdem nur mit zwei Strichen für die Norm):
$||x+y|| = [mm] ||(x_{1} [/mm] + [mm] y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3} [/mm] + [mm] y_{3})^{T}||$
[/mm]
$= [mm] \max\{|x_{1} + y_{1}|, |x_{2} + y_{2}|,|x_{3} + y_{3}|\}$
[/mm]
[mm] $\le \max\{|x_{1}| + |y_{1}|, |x_{2}| + |y_{2}|,|x_{3}| + |y_{3}|\}$
[/mm]
[mm] $\le \max\{|x_{1}|, |x_{2}|,|x_{3}|\} [/mm] + [mm] \max\{|y_{1}|, |y_{2}|,|y_{3}|\}$
[/mm]
$ = ||x|| + ||y||$.
So, nun bist du nochmal dran: Warum gelten die beiden " [mm] \le [/mm] "?
- Du hast schon zum ersten geschrieben: Das ist die Dreiecksungleichung für Beträge. Das ist soweit richtig, aber da ist ja noch ein Max drumherum. Geht das dann trotzdem?
- Warum gilt das zweite " [mm] \le [/mm] "?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Sa 17.04.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Ja also ich glaube schon, dass das erste [mm] \le [/mm] auch gilt trotz des max. denn das ändert die Beträge nicht!
Aber bin mir nicht ganz sicher wie ich das mit dem zweiten [mm] "\le" [/mm] erklären soll!Hat das nicht auch was mit der Dreiecksungleichung zu tun? Weil die Summe der einzelnen Maxima der Seiten größer ist, als das Maximum der schon sofort zusammengerechneten Länge....ich sag ja ich weiß nicht wie ichs erklären soll!!
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Hallo!
- Das erste Kleinergleichzeichen:
Durch die Dreiecksungleichung werden die drei Argumente des Maximums vergrößert. Damit vergrößert sich auch das Maximum selbst. (Ist das klar?)
- Das zweite Kleinergleichzeichen:
"Umgangssprachlich" begründet man das immer so: Indem ich das Maximum in zwei Maxima aufteile, hat das Maximum "mehr Auswahl", dadurch wird es größer.
Fallbeispiel: [mm] x_{1} [/mm] ist sehr groß, und [mm] y_{2} [/mm] ist sehr groß. (Die andere [mm] x_{i} [/mm] und [mm] y_{i} [/mm] sind eher klein).
Indem erst von den [mm] x_{i} [/mm] ein Maximum durch [mm] $\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\} [/mm] = [mm] |x_{1}|$ [/mm] bestimmt wird, dann von den [mm] y_{i} [/mm] ein Maximum bestimmt wird durch [mm] $\max\{|y_{1}|,|y_{2}|,|y_{3}|\} [/mm] = [mm] |y_{2}|$ [/mm] und diese dann addiert werden, erhält man [mm] |x_{1}| [/mm] + [mm] |y_{2}|.
[/mm]
Das Maximum [mm] \max\{|x_{1}|+|y_{1}|,|x_{2}|+|y_{2}|,|x_{3}|+|y_{3}|\} [/mm] kann aber nur zwischen den drei festen Summen auswählen --> es hat weniger "Auswahl".
Ist das klar? 
Mathematisch:
Es gilt [mm] $\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\} \ge |x_{i}|$ [/mm] für jedes i = 1,2,3.
Es gilt [mm] $\max\{|y_{1}|,|y_{2}|,|y_{3}|\} \ge |y_{i}|$ [/mm] für jedes i = 1,2,3.
Damit ist
[mm] $\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\} [/mm] + [mm] \max\{|y_{1}|,|y_{2}|,|y_{3}|\} \ge |x_{i}| [/mm] + [mm] |y_{i}| [/mm] $ für jedes i = 1,2,3.
Da [mm] \max\{|x_{1}|+|y_{1}|,|x_{2}|+|y_{2}|,|x_{3}|+|y_{3}|\} [/mm] aber irgendeines der [mm] $|x_{i}| [/mm] + [mm] |y_{i}| [/mm] $ ist, ist es kleinergleich als die Summe der beiden Maxima.
Hast du das verstanden?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Sa 17.04.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Ja jetzt hab ichs verstanden! Danke!! Warst echt eine super Hilfe, vorallem durch die Erklärungen!! ;)
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