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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass durch
$ ||(x,y)|| := [mm] max(\frac{|x|}{3}, \frac{|y|}{2}) [/mm] $, $ (x,y) [mm] \in \mathbb{R}^2 [/mm] $
eine Norm auf $ [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] $ definiert wird. |
Hallo,
ich tue mich schwer, die Dreiecksungleichung zu zeigen; ich habe
$ ||(v,w) + (x,y)|| = [mm] \frac{2|v+x|+3|w+y|+|2|v+x|-3|w+y||}{12} [/mm] $
sowie
$ ||(v,w)|| + ||(x,y)|| = [mm] \frac{2(|v|+|x|)+3(|w|+|y|)+|2|v|-3|w||+|2|x|-3|y||}{12}$
[/mm]
Klar ist, dass $2|v+x| [mm] \le [/mm] 2(|v|+|x|)$ und $3|w+y| [mm] \le [/mm] 3(|w|+|y|)$ gelten, aber wenn ich so abschätze, dann müsste ich zeigen, dass $|2|v+x|-3|w+y|| [mm] \le [/mm] |2|v|-3|w||+|2|x|-3|y||$ gilt.
Aber wenn ich beispielsweise für $x=v=2$, $y=1$ und $w=-1$ einsetze, dann lande ich bei $2 [mm] \ge [/mm] 8$.
Gibt's hier einen Trick?
Danke und Gruß,
Martin
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Hiho,
ich hab zwar keine Ahnung, wieso du da so elend lange Terme bekommst… der Beweis geht viel einfacher:
Es ist $||(v,w) + (x,y)|| = ||(v + x) + (w+y)|| = [mm] \max\left(\frac{|v+w|}{3},\frac{|w+y|}{2}\right)$
[/mm]
1. Fall: $||(v,w) + (x,y)|| = [mm] \frac{|v+w|}{3}$, [/mm] dann ist
$||(v,w) + (x,y)|| = [mm] \frac{|v+w|}{3} \le \frac{|v|}{3} [/mm] + [mm] \frac{|w|}{3} \le [/mm] ||(v,w)|| + ||(x,y)||$
Den zweiten Fall machst du mal alleine…
Gruß,
Gono
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> Hiho,
>
> ich hab zwar keine Ahnung, wieso du da so elend lange Terme
> bekommst… der Beweis geht viel einfacher:
Die langen Terme bekomme ich, weil ich folgende Formel aus meinem Skript verwende:
[mm] $max(a_1, a_2) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] |a_1 [/mm] - [mm] a_2|)$
[/mm]
>
> Es ist [mm]||(v,w) + (x,y)|| = ||(v + x) + (w+y)|| = \max\left(\frac{|v+w|}{3},\frac{|w+y|}{2}\right)[/mm]
Du meinst sicher
[mm]||(v,w) + (x,y)|| = ||(v + x, w+y)|| = \max\left(\frac{|v+x|}{3},\frac{|w+y|}{2}\right)[/mm]
?
>
> 1. Fall: [mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|v+w|}{3}[/mm], dann ist
> [mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|v+w|}{3} \le \frac{|v|}{3} + \frac{|w|}{3} \le ||(v,w)|| + ||(x,y)||[/mm]
Ich verstehe nicht, wie es den Fall
[mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|v+w|}{3}[/mm]
geben kann. Ich sehe nur die zwei Möglichkeiten
[mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|v+x|}{3}[/mm] und [mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|w+y|}{2}[/mm]
Im Ergebnis kann ich leider gar nicht folgen ...
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Hiho,
> Die langen Terme bekomme ich, weil ich folgende Formel aus
> meinem Skript verwende:
>
> [mm]max(a_1, a_2) = \frac{1}{2}(a_1 + a_2 + |a_1 - a_2|)[/mm]
Ja, die stimmt zwar, ist aber so gut wie nie praktikabel.
Eine Fallunterscheidung ist meist besser.
> > Es ist [mm]||(v,w) + (x,y)|| = ||(v + x) + (w+y)|| = \max\left(\frac{|v+w|}{3},\frac{|w+y|}{2}\right)[/mm]
>
> Du meinst sicher
>
> [mm]||(v,w) + (x,y)|| = ||(v + x, w+y)|| = \max\left(\frac{|v+x|}{3},\frac{|w+y|}{2}\right)[/mm]
Ja.
Aber wenn du das gesehen hast, verstehe ich deine Aussage nicht:
> Im Ergebnis kann ich leider gar nicht folgen ...
Du hättest doch einfach selbst den Fehler beheben können.
Die Idee ist doch wohl hoffentlich klar geworden…
1. Fall: [mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|v+x|}{3}[/mm], dann ist
[mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|v+x|}{3} \le \frac{|v|}{3} + \frac{|x|}{3} \le ||(v,w)|| + ||(x,y)||[/mm]
Ein bisschen selbst denken solltest du schon…
Gruß,
Gono
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Hallo,
erkläre mir doch bitte mal meinen Denkfehler. M.E. müsste man nach deinem Vorgehen die folgenden 8 Fälle unterscheiden:
1. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|v+x|}{3}, ||(v,w)||=\frac{|v|}{3}, ||(x,y)||=\frac{|x|}{3}$
[/mm]
2. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|v+x|}{3}, ||(v,w)||=\frac{|v|}{3}, ||(x,y)||=\frac{|y|}{2}$
[/mm]
3. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|v+x|}{3}, ||(v,w)||=\frac{|w|}{2}, ||(x,y)||=\frac{|x|}{3}$
[/mm]
4. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|v+x|}{3}, ||(v,w)||=\frac{|w|}{2}, ||(x,y)||=\frac{|y|}{2}$
[/mm]
5. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|w+y|}{2}, ||(v,w)||=\frac{|v|}{3}, ||(x,y)||=\frac{|x|}{3}$
[/mm]
6. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|w+y|}{2}, ||(v,w)||=\frac{|v|}{3}, ||(x,y)||=\frac{|y|}{2}$
[/mm]
7. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|w+y|}{2}, ||(v,w)||=\frac{|w|}{2}, ||(x,y)||=\frac{|x|}{3}$
[/mm]
8. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|w+y|}{2}, ||(v,w)||=\frac{|w|}{2}, ||(x,y)||=\frac{|y|}{2}$
[/mm]
Der erste Fall ist noch klar. Beim zweiten Fall müsste ich die folgende Ungleichung auf Gültigkeit überprüfen:
[mm] $\frac{|v+x|}{3} \le \frac{|v|}{3} [/mm] + [mm] \frac{|y|}{2}$
[/mm]
Wie soll ich jetzt entscheiden, ob das wahr ist?
Danke und Gruß,
Martin
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Hiho,
> Hallo,
> erkläre mir doch bitte mal meinen Denkfehler. M.E.
> müsste man nach deinem Vorgehen die folgenden 8 Fälle
> unterscheiden:
Das kannst du machen, ist jedoch völlig unnötig.
Denn: Deine Fälle 1-4 sind doch alle im Fall $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|v+x|}{3}$ [/mm] (unabhängig davon was ||(v,w)|| und ||(x,y)|| ist) enthalten.
> Der erste Fall ist noch klar. Beim zweiten Fall müsste ich
> die folgende Ungleichung auf Gültigkeit überprüfen:
>
> [mm]\frac{|v+x|}{3} \le \frac{|v|}{3} + \frac{|y|}{2}[/mm]
>
> Wie soll ich jetzt entscheiden, ob das wahr ist?
Habe ich dir schon vorgemacht.
Es ist doch offensichtlich:
[mm]\frac{|v+x|}{3} \le \frac{|v|}{3} + \frac{|x|}{3} \le ||(v,w)|| + ||(x,y)||[/mm]
In deinem 2, Fall gilt
> 2. $ ||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|v+x|}{3}, ||(v,w)||=\frac{|v|}{3}, ||(x,y)||=\frac{|y|}{2} [/mm] $
Und damit:
[mm]\frac{|v+x|}{3} \le \frac{|v|}{3} + \frac{|x|}{3} \le ||(v,w)|| + ||(x,y)|| = \frac{|v|}{3} + \frac{|y|}{2}[/mm]
Insgesamt also das von dir Gewünschte.
Aber wie gesagt: Die Aufteilung meiner 2 Fälle in jeweils 4 separate ist völlig überflüssig…
Gruß,
Gono
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