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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 So 06.12.2009 | | Autor: | MarRaph |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die [mm] \infty-Norm [/mm] und die p-Norm für p [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty) [/mm] auf [mm] \IR^n [/mm] äquivalent sind, und bestimmen Sie die Konstanten. |
Hallo zusammen,
ich habe mir Folgendes überlegt, möchte jedoch wissen, ob ich etwas falsch gemacht habe:
Die Äquvalenz der beiden Normen bedeutet, dass es [mm] \gamma_1, \gamma_2 \in \IR_+ [/mm] gibt, so dass gilt: [mm] \gamma_1 \parallel.\parallel _\infty \le \parallel.\parallel_p \le \gamma_2 \parallel.\parallel _\infty
[/mm]
Für [mm] \vec{x} \in \IR^n [/mm] gilt: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i \vec{e_i} [/mm] , wenn [mm] \vec{e_i} [/mm] die kanonischen Vektoren bezeichnen.
Es gilt nun zur Ermittlung der Konstanten der rechten Ungleichung:
[mm] \parallel\vec{x}\parallel_p \le \parallel\summe_{i=1}^{n}x_i\vec{e_i}\parallel_p \le \summe_{i=1}^{n}\parallel x_i\vec{e_i}\parallel_p [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}|x_i|*\parallel\vec{e_i}\parallel_p \le \summe_{i=1}^{n}\parallel\vec{x}\parallel_\infty*\parallel\vec{e_i}\parallel_p [/mm] = [mm] \parallel\vec{x}\parallel_\infty [/mm] * [mm] \gamma_2
[/mm]
mit [mm] \gamma_2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\parallel\vec{e_i}\parallel_p
[/mm]
Zur Ermittlung der Konstanten der linken Seite will ich wissen, wie klein [mm] \parallel.\parallel_p [/mm] werden kann.
Dazu sehe ich mir die Einheitsphäre an, d.h. [mm] {\vec{x} \in \IR^n: \parallel\vec{x}\parallel_\infty = 1}.
[/mm]
Da diese Menge kompakt und die Abb. [mm] \parallel.\parallel_p: \vec{x}\mapsto \parallel \vec{x} \parallel_p [/mm] stetig ist, nimmt die Funktion [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \parallel \vec{x} \parallel_p [/mm] auf der Menge { [mm] \vec{x} \in \IR^n: \parallel \vec{x} \parallel_\infty [/mm] = 1 } in einem Punkt [mm] \vec{x_0} \in \IR^n [/mm] ihr Minimum an.
[mm] \vec{x_0} \not= \vec{0}, [/mm] denn [mm] \parallel \vec{x} \parallel_\infty [/mm] = 1.
Somit ist [mm] \parallel \vec{x} \parallel_p \ge \parallel \vec{x_0} \parallel_p [/mm] = [mm] \gamma_1 [/mm] für alle [mm] \vec{x} \in \IR^n [/mm] : [mm] \parallel \vec{x} \parallel_\infty [/mm] = 1
Damit die linke Ungleichung für allgemeine [mm] \vec{y} \in \IR^n [/mm] gilt:
Setze [mm] \vec{y} [/mm] = c * [mm] \vec{x} [/mm] mit [mm] \parallel \vec{x} \parallel_\infty [/mm] = 1. c = [mm] \parallel \vec{y} \parallel_\infty \Rightarrow \parallel \vec{y} \parallel_p [/mm] = c * [mm] \parallel \vec{x} \parallel_p \ge c*\gamma_1*\parallel \vec{x} \parallel_\infty [/mm] = [mm] c*\gamma_1*\parallel \vec{y} \parallel_\infty
[/mm]
Sind meine Überlegungen überhaupt richtig? Ich habe sie an meiner Mitschrift aus der Vorlesung analogisiert.
GRuß,
MarRaph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MarRaph,
Ohne jetzt direkt auf deine Frage einzugehen, schlage ich vor, daß Du dir mein kleines Skript "Weisheiten der Numerik" unter "Literatur" ansiehst. Dort habe ich mich auch an der Normäquivalenz versucht. [ Du mußt allerdings auf www.matheraum.de eingeloggt sein, um die (neueste) pdf-Datei runterzuladen, da die Verweise dort nicht relativ sind. ]
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass die [mm]\infty-Norm[/mm] und die p-Norm für p
> [mm]\in[/mm] [1, [mm]\infty)[/mm] auf [mm]\IR^n[/mm] äquivalent sind, und bestimmen
> Sie die Konstanten.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mir Folgendes überlegt, möchte jedoch wissen, ob
> ich etwas falsch gemacht habe:
>
> Die Äquvalenz der beiden Normen bedeutet, dass es
> [mm]\gamma_1, \gamma_2 \in \IR_+[/mm] gibt, so dass gilt: [mm]\gamma_1 \parallel.\parallel _\infty \le \parallel.\parallel_p \le \gamma_2 \parallel.\parallel _\infty[/mm]
>
> Für [mm]\vec{x} \in \IR^n[/mm] gilt: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i \vec{e_i}[/mm]
> , wenn [mm]\vec{e_i}[/mm] die kanonischen Vektoren bezeichnen.
>
> Es gilt nun zur Ermittlung der Konstanten der rechten
> Ungleichung:
> [mm]\parallel\vec{x}\parallel_p \le \parallel\summe_{i=1}^{n}x_i\vec{e_i}\parallel_p \le \summe_{i=1}^{n}\parallel x_i\vec{e_i}\parallel_p[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}|x_i|*\parallel\vec{e_i}\parallel_p \le \summe_{i=1}^{n}\parallel\vec{x}\parallel_\infty*\parallel\vec{e_i}\parallel_p[/mm]
> = [mm]\parallel\vec{x}\parallel_\infty[/mm] * [mm]\gamma_2[/mm]
> mit [mm]\gamma_2[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\parallel\vec{e_i}\parallel_p[/mm]
O.K.
>
> Zur Ermittlung der Konstanten der linken Seite will ich
> wissen, wie klein [mm]\parallel.\parallel_p[/mm] werden kann.
> Dazu sehe ich mir die Einheitsphäre an, d.h. [mm]{\vec{x} \in \IR^n: \parallel\vec{x}\parallel_\infty = 1}.[/mm]
>
> Da diese Menge kompakt und die Abb. [mm]\parallel.\parallel_p: \vec{x}\mapsto \parallel \vec{x} \parallel_p[/mm]
> stetig ist, nimmt die Funktion [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\parallel \vec{x} \parallel_p[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> auf der Menge { [mm]\vec{x} \in \IR^n: \parallel \vec{x} \parallel_\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> = 1 } in einem Punkt [mm]\vec{x_0} \in \IR^n[/mm] ihr Minimum an.
> [mm]\vec{x_0} \not= \vec{0},[/mm] denn [mm]\parallel \vec{x} \parallel_\infty[/mm]
> = 1.
> Somit ist [mm]\parallel \vec{x} \parallel_p \ge \parallel \vec{x_0} \parallel_p[/mm]
> = [mm]\gamma_1[/mm] für alle [mm]\vec{x} \in \IR^n[/mm] : [mm]\parallel \vec{x} \parallel_\infty[/mm]
> = 1
>
> Damit die linke Ungleichung für allgemeine [mm]\vec{y} \in \IR^n[/mm]
> gilt:
> Setze [mm]\vec{y}[/mm] = c * [mm]\vec{x}[/mm] mit [mm]\parallel \vec{x} \parallel_\infty[/mm]
> = 1. c = [mm]\parallel \vec{y} \parallel_\infty \Rightarrow \parallel \vec{y} \parallel_p[/mm]
> = c * [mm]\parallel \vec{x} \parallel_p \ge c*\gamma_1*\parallel \vec{x} \parallel_\infty[/mm]
> = [mm]c*\gamma_1*\parallel \vec{y} \parallel_\infty[/mm]
>
Das letzte oben ist etwas merkwürdig aufgeschrieben. Ich denke Du willst auf folgendes hinaus:
Für bel. y ist: [mm] $||y||_{\infty}*||x_0||_p \le ||y||_p$
[/mm]
FRED
>
> Sind meine Überlegungen überhaupt richtig? Ich habe sie
> an meiner Mitschrift aus der Vorlesung analogisiert.
>
> GRuß,
> MarRaph
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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