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Hallo, ich habe mal wieder Problemchen mit den Normen. Auf dem [mm] \IR^n [/mm] sind ja alle Normen äquivalent. Die Aufgabe ist nun für die folg. Normen die kleinsten Konstanten zu finden und das zu beweisen.
Zeigen Sie, dass die Normen [mm] ||*||_{1} [/mm] , [mm] ||*||_{2} [/mm] und [mm] ||*||_{\infty} [/mm] äquivalent sind, indem sie für alle i,j [mm] \in{1,2,\infty} [/mm] die kleinsten Konstanten [mm] c_{i,j} [/mm] finden (mit Beweis), für die gilt:
[mm] ||*||_{i} \le c_{i,j}||*||_{j}. [/mm] Für alle [mm] x\in \IR^n
[/mm]
Ich habe in einem Buch gelesen, dass sich beispielsweise die euklidische Norm und die Maximumsnorm so abschätzen lassen:
[mm] ||*||_{2} \le\wurzel{n}*||*||_{\infty}.
[/mm]
Wie kommt man aber darauf? Danke für eure Hilfe!
Grüße mathmetzsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Di 17.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo mathmetzsch,
die Abschätzungen sollten dir leichter fallen, wenn du dir evtl. mal die Kreisscheibe mit [mm] $||x||_i\le [/mm] 1$ in den entsprechenden Normen aufmalen (wie süss  ) - dann könntest du vielleicht schneller auf die gesuchten Konstanten kommen...
Ansonsten einfach die Definition der entsprechenden Normen nehmen und so abschätzen, dass du die KOónstante abschätzen kannst.
Max
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Könntest du das dann vielleicht mal für das Beispiel, das ich gebracht habe machen? Ich verstehe nicht, wie man Wurzel n kommt.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Di 17.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo mathmatzsch,
musst du auch erstmal nicht, betrachte zunächst mal die zweidimensionale Sitution und mal dir dort die Einheits"kreise" unter den entsprechenden Normen auf. Wenn du dort verstanden hast, wie man zwischen den Normen umrechnet, wird dir sicher die Verallgemeinerung durch die Formeln gelingen.
Max
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