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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Di 27.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | Die Frage wurde so nirgends gestellt, kann daher fehlerhaft sein:
Ich habe Probleme mir die Normäquivalenz an den dazugehörigen Skizzen klar zu machen.
So ist die maximumsnorm ja kleiner als die euklidische Norm:
[mm] ||x||_{max} \le ||x||_{2} [/mm]
Wenn ich mir aber die zugehörigen Skizzen ansehe, ist mir das überhaupt nicht mehr klar.
Die Maximumsnorm stellt ja ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 dar.
Die euklidische Norm einen Kreis mit dem Radius eins.
Mein Problem ist nun, dass ich mir die ganze Zeit denke, dass der Abstand eines Punktes zum Nullpunkt bei der euklidischen Norm doch immer kleiner ist als der Abstand eines Punktes zur Maximusnorm.
Wo mache ich hier einen Denkfehler? |
Hallo,
Meine Frage habe oben ausformuliert.
Wie immer danke schonmal im voraus.
Gruß
Hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Di 27.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hans,
> Die Frage wurde so nirgends gestellt, kann daher fehlerhaft
> sein:
>
> Ich habe Probleme mir die Normäquivalenz an den
> dazugehörigen Skizzen klar zu machen.
>
> So ist die maximumsnorm ja kleiner als die euklidische
> Norm:
>
> [mm]||x||_{max} \le ||x||_{2}[/mm]
>
> Wenn ich mir aber die zugehörigen Skizzen ansehe, ist mir
> das überhaupt nicht mehr klar.
>
> Die Maximumsnorm stellt ja ein Quadrat mit der Seitenlänge
> 1 dar.
> Die euklidische Norm einen Kreis mit dem Radius eins.
>
> Mein Problem ist nun, dass ich mir die ganze Zeit denke,
> dass der Abstand eines Punktes zum Nullpunkt bei der
> euklidischen Norm doch immer kleiner ist als der Abstand
> eines Punktes zur Maximusnorm.
>
> Wo mache ich hier einen Denkfehler?
> Hallo,
>
> Meine Frage habe oben ausformuliert.
>
> Wie immer danke schonmal im voraus.
ich glaube, Deine geometrische Interpretation ist nicht korrekt. Was soll das ganze mit einem Quadrat der Länge 1 zu tun haben?
Wenn $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] ist, dann ist [mm] $\|x\|_{\max}=\max\{|x_i|: i=1,...,n\}\,,$ [/mm] also die betragsmäßig größte Komponente des Vektors [mm] $x\,.$ [/mm]
Du erhältst [mm] $\|x\|_\max\,,$ [/mm] indem Du in dem kartesischen Koordinatensystem den Vektor auf die einzelnen Achsen projezierst und die Länge der Projektion anschaust.
Hingegen ist [mm] $\|x\|_2$ [/mm] die "anschaulische Länge", die euklidische Länge, "die Gesamtlänge" des Vektors. Irgendwie sollte dann schon die Dreiecksungleichung sofort zeigen, dass diese länger ist als jede Länge einer Projektion des Vektors auf die Koordinatenachsen. Geometrisch scheint das also super einleuchtend.
Nun beweisen wir es:
Es gilt für [mm] $x=(x_1,...,x_n) \in \IR^n$ [/mm] und für jedes $j [mm] \in \{1,...,n\}$
[/mm]
[mm] $$|x_j|=\sqrt{x_j^2} \le \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}\,,$$
[/mm]
weil [mm] $\sqrt{.}: [0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] streng wächst. Also ist auch
[mm] $$\max\{|x_j|: j=1,...,n\} \le \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}\,.$$
[/mm]
Wenn's Dir unklar ist, mach's Dir erstmal ganz einfach klar:
Fang' mit einem Vektor des [mm] $\IR^2$ [/mm] an, bei dem sowohl die erste als auch die zweite Komponente nicht Null ist. Dann mach' Dir alles geometrisch klar, danach algebraisch.
P.S.
Ich glaube, was Du machen wolltest, ist zu zeigen, dass folgendes für die "Einheitskreise" gilt:
[mm] $$\{x \in \IR^n: \|x\|_{\max} \red{\;\le\;} 1\}\subseteq \{y \in \IR^n: \|y\|_2 \red{\;\le\;}1\}\,.$$
[/mm]
Das folgt natürlich sofort aus der obigen Ungleichung!
(Geometrisch bedeutet das etwa für [mm] $n=2\,:$ [/mm] Das Einheitsquadrat liegt im Einheitskreis!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Ich habe versucht mir das an den zugehörigen Bildchen klar zu machen:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Vector-p-Norms_qtl1.svg&filetimestamp=20120124155057
Der Gedanke ist aber anscheinend falsch. Ich denk noch mal drüber nach.
Gruß und danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:56 Do 29.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe versucht mir das an den zugehörigen Bildchen klar
> zu machen:
>
> http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Vector-p-Norms_qtl1.svg&filetimestamp=20120124155057
moment: Du siehst dort "den Rand der Einheitskugeln/bzw. die Einheitskugeln bzgl. der jeweiligen entsprechenden Norm". (Mir selbst ist erstmal nicht klar, ob oder wo man an dem Bild etwa die Beziehung [mm] $\|x\|_{\max} \le \|x\|_2$ [/mm] erkennen kann. Aber was man sieht: [mm] $\{x: \|x\|_2 \le 1\} \subseteq \{y: \|y\|_{\max} \le 1\}\;\;\;^{(\star)}\,.$ [/mm] Ich hatte da Quatsch behauptet, das Bild ist schon richtig. Siehe meine folgende Richtigstellung!)
> Der Gedanke ist aber anscheinend falsch. Ich denk noch mal
> drüber nach.
Mir ist jedenfalls gerade aufgefallen, dass mein P.S. falsch war:
Denn es gilt etwa [mm] $\|(1,1)\|_{\max}=1\,,$ [/mm] aber [mm] $\|(1,1)\|_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} [/mm] > [mm] 1\,.$
[/mm]
Und geometrisch ist auch vielmehr (im [mm] $\IR^2$) [/mm] klar: Das Einheitsquadrat enthält den Einheitskreis. Wie kann man das zeigen? Naja, indem man zeigt: Für jedes $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $\sqrt{x^2+y^2} \le [/mm] 1$ folgt [mm] $\max\{|x|,\;|y|\} \le [/mm] 1:$
(Und im Gegensatz zu dem Quatsch, den ich einfach in dem P.S. behauptet hatte - der auch nicht beweisbar ist - kann man das hier einfach beweisen, und daher mache ich das nun der Vollständigkeit wegen!):
Sei also $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $\sqrt{x^2+y^2} \le 1\,.$ [/mm] Wäre nun $|x| > [mm] 1\,,$ [/mm] so folgte wegen der Monotonie von [mm] $\sqrt{.}$ [/mm] und wegen [mm] $|x|=\sqrt{x^2}$ [/mm] sodann [mm] $\sqrt{x^2+y^2} \ge \sqrt{x^2}=|x| >1\,.$ [/mm] Also muss $|x| [mm] \le [/mm] 1$ gelten. Analog sieht man, dass auch $|y| [mm] \le [/mm] 1$ gelten muss. Da aber sowohl $|x| [mm] \le [/mm] 1$ als auch [mm] $|y|\le [/mm] 1$ gelten, muss dann auch [mm] $\|(x,y)\|_{\max}=\max\{|x|,\;|y|\} \le [/mm] 1$ gelten. Also liegt der Einheitskreis/die Einheitskugel im Einheitsquadrat (im [mm] $\IR^n$ [/mm] geht das analog, man hat halt das Maximum über die n Komponenten zu bilden).
(Alternativ geht's dann auch so, wenn man die Ungleichung verwendet: Ist $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $\|(x,y)\|_2 \le 1\,,$ [/mm] so folgt wegen [mm] $\|(x,y)\|_{\max} \le \|(x,y)\|_2$ [/mm] dann auch [mm] $\|(x,y)\|_{\max} \le 1\,.$)
[/mm]
Sorry, falls ich da Verwirrung gestiftet habe!
[mm] $\;^{(\star)}$: [/mm] Mir ist gerade aufgefallen:
Wenn doch [mm] $\{x: \|x\|_2 \le 1\} \subseteq \{y: \|y\|_{\max} \le 1\}$ [/mm] gilt, dann liegt jedenfalls die Vermutung nahe, dass "der gleiche Vektor bzgl. [mm] $\|.\|_{\max}$ [/mm] wohl einen kleineren Wert haben muss als bzgl. [mm] $\|.\|_2$". [/mm] Denn etwa [mm] $(1,1)\,$ [/mm] verläßt den Einheitskreis, hat also bzgl. [mm] $\|.\|_2$ [/mm] eine Länge $> [mm] 1\,,$ [/mm] liegt aber im Einheitsquadrat, d.h. hat bzgl. [mm] $\|.\|_{\max}$ [/mm] dann eine kleinere Länge.
P.S.
Ich muss auch sagen, dass meine Wortwahl hier nicht die beste ist. Das Wort "Einheitskugel" alleine soll wirklich etwa [mm] $\{x: \|x\| \le 1\}$ [/mm] für irgendeine Norm sein. Wenn ich von Einheitskugel (oder Einheitskreis) im Zusammenhang mit Einheitsquadrat rede, dann bedeutet Einheitskugel [mm] $\{x: \|x\|_2 \le 1\}$ [/mm] und Einheitsquadrat [mm] $\{y: \|y\|_{\max} \le 1\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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