Normal-Verteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Karacho |
| Aufgabe | In einem Stadion stehen 20.000 Plätze zur Verfügung. Für ein Spiel werden 8.000 Karten an Sponsoren verteilt. Diese Karten werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 83% genutzt. Daneben werden noch 14.000 Karten regulär verkauft, damit nicht zuviele Plätze ungenutzt bleiben, diese werden zu 95% genutzt. Die Eintrittskarten sind nicht an bestimmte Plätze gebunden.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, das die 20.000 Plätze nicht ausreichen. Verwenden sie die Normalverteilung als Näherung. |
Ich habe ausgerechnet, dass wahrscheinlich von den 8000 Karten 6640 und von den 14000 -> 13300 genutz werden. D.h. geht man von den genannten W-keiten aus, bleiben sogar noch Plätze frei. Aber ich glaube, für die Lösung der Aufgabe hilft mir das nicht.
Des weiteren weiß ich aber, das P(X > 20.000) sein muss.
Aber wie rechne ich nun die beiden W-keiten zusammen aus?
Wäre dankbar für ein paar Tipps =)
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 14.01.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
mir erscheint folgendes Modell erfolgversprechend:
Sei $X$ die Zufallsvariable,
die die (Gesamt-) Anzahl der Spielbesucher angibt.
Dann ist
$X=S+R$
mit Zufallvariable $S$: Anzahl der Sponsorenkarten-Spielbesucher
und Zufallvariable $R$: Anzahl der Regulärkarten-Spielbesucher
und außer Sponsorenkarten-Spielbesuchern sowie Regulärkarten-Spielbesucher gibt es keine weiten Spielbesucher.
"Verwenden sie die Normalverteilung als Näherung." steht im Aufgabentext.
Nun denn.
Dann ist $S$ normalverteilt mit [mm] $\mu=0.83*8000=6640$ [/mm] und [mm] $\sigma^2=0.83*0.17*8000=1129$.
[/mm]
Und $R$ normalverteilt mit [mm] $\mu=0.95*14000=13300$ [/mm] und [mm] $\sigma^2=0.95*0.05*14000=665$.
[/mm]
$X$ ist als Summer zweier normalverteiler Zufallvariablen normalverteilt
mit [mm] $\mu=6640+13300=19940$ [/mm] und [mm] $\sigma^2=1129+665=1794$ [/mm] und also [mm] $\sigma=42$.
[/mm]
Gesucht ist wie angegeben
$P(X>20000)=1-P(X<=20000)$.
Sei $Z$ eine Transformation von $X$,
[mm] $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$.
[/mm]
Dann entspricht
$P(X<=20000)$
[mm] $P(Z<=\frac{20000-19940}{42})$
[/mm]
also [mm] $P(Z<=\frac{60}{42})$ [/mm] und damit $P(Z<=1.43)$.
Eine Tabelle der (kumulierten) Standardnormalverteilung zeigt für $Z=1.43$ den Wert $0,92364$.
In Hinblick auf die fragliche Aufgabe interpretiert sagt dieser Wert aus:
"In rund 92% der Fälle kommen höchstens 20000 Besucher ins Stadion".
Im Umkehrschluß bedeutet das,
daß in circa 8 von 100 Spielen
mehr Kartenbesitzer das Spiel besuchen möchten
als das Stadion Plätze bietet.
Schönen Gruß
Karsten
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