Normalapproximation < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:26 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Grischa |
| Aufgabe | In einem homogenen Versicherungsportfolio seien die zufälligen Schadenhöhen [mm] X_{k}, 1 \leq k \leq n[/mm], der n =10000 Verischerungsnehmer unabhängig und identisch verteilt mit [mm]E(X_{k}) = \mu \ und \ Var (X_{k})=\sigma^2[/mm].
Das Versicherungsunternehmen verlangt als Netto-prämie [mm]B = \mu + \alpha * \sigma [/mm] für ein alpha > 0. Berechnen Sie einen (möglichst kleinen) Näherungswert für alpha, so dass die W'keit, dass das Versicherungsunternehmen für alle Versicherungsschäden in der Summe mehr ausgeben muss, als es in der Summe an Nettoprämien einnimmt, nicht mehr als 0.01 beträgt.
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Ansatz:
Schadenshöhe aller Versicherungsträger:
X = [mm] \sum_{k=1}^{10000} X_{k} [/mm]
Erwartungswert:
[mm]E(X_{k}) = \sum_{k=1}^{10000} E(X_{k}) [/mm] = sigma²
Varianz:
[mm]Var(x) = \sum_{k=1}^{10000} Var(X_{k}) = \mu = n * p
[/mm]
Es folgt:
[mm]P\{ \sum_{k=1}^{10000} X_{k} \geq \sum_{k=1}^{10000} E(X_{k}) + \alpha * \sqrt{Var(X_{k})}\} \leq 0.0.1 [/mm]
Idee Nr 1: Normalapproximation:
[mm]=P( \frac{\sum_{k=1}^{10000} X_{k} - \sum_{k=1}^{10000} E(X_{k})}{\sqrt{\sum_{k=1}^{10000} Var(X_{k})}} ) \geq \frac{\sum_{k=1}^{10000} E(X_{k}) * \alpha * \sqrt{\sum_{k=1}^{10000} Var(X_{k})} - \sum_{k=1}^{10000} E(X_{k}) }{\sqrt{\sum_{k=1}^{10000} Var(X_{k})}}
[/mm]
[mm]=P( Z \geq \frac{\sum_{k=1}^{10000} E(X_{k}) * \alpha * \sqrt{\sum_{k=1}^{10000} Var(X_{k})} - \sum_{k=1}^{10000} E(X_{k}) }{\sqrt{\sum_{k=1}^{10000} Var(X_{k})}} )
[/mm]
Sieht schick aus, führt bei mir letzendlich aber zu Verwirrung? Jemand eine Idee?
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 25.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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