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| Aufgabe | Bei einer Lotterie mit sehr vielen Losen stehen auf 10% der Lose "Gwinn". 90 Personen verabreden, dass jeder Lose kauft, bis er den ersten Gewinn hat. Wie ist approximativ die W, dass sie insgesamt höchstens 1080 Lose Kaufen?
Hinweis: P(z<1)=0,84, P(z<1,5)=0,93, P(z<2)=0,98, P(z<2,5)=0,99 |
Hi,
mit dieser Aufgabe komme ich gerade nicht so zurecht.
Wenn 90 Personen dort mitmachen, dann ist ja der Erwartungswert, dass man Lose mit "Gewinn" bekommt: E(X)=90*0,1=9, d.h. wenn 90 Personen ganz viele Lose kaufen, hat man die Wahrscheinlichkeit 9 Lose mit Gewinn zu bekommen, richtig?? Dem enstrechend die Varianz: E(X)=90*0,1*0,9=8,1. So jetzt komme ich nicht weiter, weiß gerade nicht, wie ich die [mm] \le [/mm] 1080 dort einbringen sollte.
Nach Cheby. gilt ja jetzt:
[mm] P(|X-E(X)|\ge a^2) [/mm] kann man das irgendwie verbinden? oder wie muss ich weiterrechnen?
Danke für Hilfe.
Grüße
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hi
wie groß ist denn zbdie wkeit , dass einer und dann jeder beim ersen, zwieten ...versuch gewinn zieht?
du musst dann alle kombinationen daraus betrachten.
es vereinfacht sich wenn du dir überlegst, was das für eine ZVA [mm] X_i [/mm] (i=1..90)
ist (X müsste geometrisch verteilt sein (warum?))
edit: [mm] X_i [/mm] soll die Zva sein, die beschreibt, wie oft person i den versuch widerholen muss um zum ersten erfolg zu kommen .
du musst dann die summe der [mm] X_i [/mm] betracheten.
allerdings weiß ich nicht genau, ob die dann u.a. sind . müsste aber gelten solange es sehr viele lose gibt...
gruß
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Hi,
erstmal danke für deine Mail. Bin trotzdem mit dieser Aufgabe noch am kämpfen.
> wie groß ist denn zbdie wkeit , dass einer und dann jeder beim ersen, zwieten ...versuch gewinn zieht?
Hier ist schon meine erste Schwierigkeit, denn ich weiß gerade nicht, wie man das berechnen könnte. In der Aufgabe steht ja nur:
> Bei einer Lotterie mit sehr vielen Losen stehen auf 10% der Lose "Gwinn".
Das heißt doch, wenn ich beim ersten mal Ziehe, habe ich eine Gwinnwahrscheinlichkeit von 10%, oder?? Aber wie würde es dann beim zweiten mal aussehen? Das weiß ich gerade irgendwie nicht. Und dann das ganze Problem auch noch auf mehrere Personen zu übertragen, dass sehe ich noch schwieriger.
Dann sagst du auch noch:
> X müsste geometrisch verteilt sein
Die geo. Verteilung ist geben durch: [mm] P(X=k)=p(1-p)^{k-1}, [/mm] unser p müsste ja in diesem Fall 0,1 sein, oder?? D.h.
[mm] P(X=k)=(0,1)(0,9)^{k-1} [/mm] und wenn ich dass dann aufsummiere komme ich auf:
[mm] P(X=k)=\summe_{k=1}^{90}(0,10)*(0,90)^{k-1}
[/mm]
Ist das so jetzt richtig???
Aber wie geht das jetzt weiter??? Ich muss ja irgendwo die Zahlen vom Hinweis mit einbringen. Mir ist gerade aufgefallen, dass ich was vergessen habe hinzuschreiben. Z soll normal-standardverteilt sein.
So und um die Werte von Z benutzen zu können, dachte ich, dass wir irgendwie auf sowas kommen müssen:
[mm] P(|X-E(X)|\le a^2) [/mm] , weil das könnte man ja dann umwandeln in:
[mm] \bruch{X-E(X)}{\wurzel{Var(X)}}\le \bruch{a^2}{\wurzel{Var(X)}}
[/mm]
Denn hier könnte man ja dann jetz den Grenzwertsatz von Laplace anwenden. Aber ich weiß gerade nicht, was unsere E(X) und Var(X) sein werden.
Kann mir vielleicht nochmal wer helfen? wäre echt nett.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:16 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Bei einer Lotterie mit sehr vielen Losen stehen auf 10% der
> Lose "Gwinn".
>
> Das heißt doch, wenn ich beim ersten mal Ziehe, habe ich
> eine Gwinnwahrscheinlichkeit von 10%, oder?? Aber wie
> würde es dann beim zweiten mal aussehen?
Auch 10%. Das sollen die viellen Lottoscheine implizieren.
> Dann sagst du auch noch:
>
> > X müsste geometrisch verteilt sein
>
> Die geo. Verteilung ist geben durch: [mm]P(X=k)=p(1-p)^{k-1},[/mm]
> unser p müsste ja in diesem Fall 0,1 sein, oder?? D.h.
Ja.
> [mm]P(X=k)=(0,1)(0,9)^{k-1}[/mm] und wenn ich dass dann aufsummiere
> komme ich auf:
>
> [mm]P(X=k)=\summe_{k=1}^{90}(0,10)*(0,90)^{k-1}[/mm]
>
> Ist das so jetzt richtig???
Nein, denn: warum hast du summiert?
Nehmen wir zwei Leute, wie hoch ist die W'keit, dass diese insgesamt n Lottoscheine kaufen?Sei [m]X_i[/m] die Anzahl der Scheine, die der i-te auft. Dann müssen wir [m]P(X_1+X_2=n)[/m] berechnen. Da die ZV i.u.v. sind, gilt [m]P(X_1+X_2=n)=\sum_{k=1}^{n-1}P(X_1=k)*P(X_2=n-k)=\sum_{k=1}^{n-1}p*(1-p)^{k-1}*p*(1-p)^{n-1-k}=\sum_{k=1}^{n-1}p^2*(1-p)^{k-1+n-1-k}=p^2*(1-p)^{n-2}*(n-1)[/m]. Es ist also das gleiche, wie wenn einer Lottoscheine zieht und wartet bis er zwei siegreiche Scheine gezogen hat (Faltung der geometrischen Verteilung!). Also kann man es berechnen, mit der negativen Bin.verteilung, als ob einer wartet bis er 90 Scheine gezogen hat. Also [m]P(\sum_i X_i=n)=\vektor{n-1 \\ 90-1}*p^{90}*(1-p)^{n-90}[/m]
> Aber wie geht das jetzt weiter??? Ich muss ja irgendwo die
> Zahlen vom Hinweis mit einbringen. Mir ist gerade
> aufgefallen, dass ich was vergessen habe hinzuschreiben. Z
> soll normal-standardverteilt sein.
Benutzt also die Normal.approx der Bin.verteilung!
SEcki
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Hi Secki,
danke erstmal für deine Antwort.
Mein Problem ist, ich weiß nicht, wie ich in dieser Aufgabe den EW und Var bestimme, denn ich muss ja zunächst das hier betrachten, bevor ich den Grenzwert ansatz anwenden kann:
[mm] |\bruch{X- E(X)}{\wurzel{V(X)}}| \le \bruch{a}{\wurzel{V(X)}}
[/mm]
Ist mein EW jetzt E(X)=1080*0,1=108 oder E(X)=90*0,1=9
Und dann Var(X)=1080*0,10*0,90=97,2 oder Var(X)=90*0,1*0,9=8,1???
Denn irgendwie gefallen wir beide Ergebnisse nicht so, denn wenn ich [mm] \wurzel{V(X)} [/mm] berechne, so kommt ja bei beiden Aufgaben eine komische Zahl heraus.
[mm] \wurzel{8,1}=2,84 [/mm] und [mm] \wurzel{97,2}=9,86 [/mm]
Und was wäre in diesem Fall auch a????
Wäre nett, wenn mir wieder einer bei dieser Aufgabe helfen könnte.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Do 18.02.2010 | | Autor: | jaruleking |
Hat hier wirklich keiner mehr eine Idee zu dieser Aufgabe??
Wäre echt super nett, denn die ist sehr Klausurrelevant.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Do 18.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hat hier wirklich keiner mehr eine Idee zu dieser
> Aufgabe??
Das ist eine negative Bionmialverteilung, dafür sollte der EW und die Varianz bekannt sein - ode rman schlägt sie (inklusive Herleitung) nach. Dann kann man dne zentralen GW-Satz drauf anwerfen. Ich habe aber gerade keine Lust, irgendwelche EW oder Varianzen nachzurechnen, sorry.
SEcki
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Hi Secki,
die Sache ist ja:
> Also kann man es berechnen, mit der negativen Bin.verteilung, als ob einer wartet bis er 90 Scheine gezogen hat. Also $ [mm] P(\sum_i X_i=n)=\vektor{n-1 \\ 90-1}\cdot{}p^{90}\cdot{}(1-p)^{n-90} [/mm] $
diese negativen Binomialverteilung, haben wir in der Vorlesung nicht gehabt. Wir hatten nur die "Normale" Binomilaverteilung. Kann man dann aber schon davon ausgehen, dass man die negative Bino.verteilung anwenden kann?? Wenn ja, habe gerade mal bei Wikipedia nachgeschaut:
Für den EW gilt: [mm] E(X)=\bruch{r}{p} [/mm] in unserem Fall haben wir r=90 und p=0,1
d.h. E(x)=900
Für die Varianz gilt: [mm] Var(X)=\bruch{r*(1-p)}{p^2}, [/mm] d.h. Var(X)=8100
So und setzte ich diese Werte jetzt in
[mm] P(|\bruch{X-E(X)}{\wurzel{Var(X)}}|\le \bruch{a}{\wurzel{Var(X)}}) [/mm] ein, um den ZGW anwenden zu können, komme ich nicht weiter. denn wir haben:
[mm] P(|\bruch{X-E(X)}{\wurzel{Var(X)}}|\le \bruch{a}{\wurzel{Var(X)}}) [/mm]
= [mm] P(|\bruch{X-900}{\wurzel{8100}}|\le \bruch{1080}{\wurzel{8100}})
[/mm]
= [mm] P(|\bruch{X-900}{90}|\le [/mm] 12)
= [mm] \approx P(|Z|\le [/mm] 12)
= 2*I(12)-1
So und das kann ja nicht sein, da in dem Hinweis ganz andere Nährungswerte geben sind :-///
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Fr 19.02.2010 | | Autor: | luis52 |
>
> [mm]P(|\bruch{X-E(X)}{\wurzel{Var(X)}}|\le \bruch{a}{\wurzel{Var(X)}})[/mm]
>
> = $ [mm] P(|\bruch{X-900}{\wurzel{8100}}|\le \bruch{1080}{\wurzel{8100}}) [/mm] $
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") $ [mm] P(|\bruch{X-900}{\wurzel{8100}}|\le \bruch{1080-\red{900}}{\wurzel{8100}}) [/mm] $
>
> = [mm]P(|\bruch{X-900}{90}|\le[/mm] 12)
>
> = [mm]\approx P(|Z|\le[/mm] 12)
>
> = 2*I(12)-1
Der Buchstabe ist \Phi also [mm] \Phi.
[/mm]
vg Luis
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Hi Luis,
vielen Dank. Wäre nie drauf gekommen, dass man da auch nochmal die 900 abziehen muss, aber so hauts hin.
Dann nochmal ne andere Frage. Wie ich ja schon vorher auch gesagt habe, diese negative Binomilaverteilung haben wir gar nicht gehabt. Gibt es sonst noch einen anderen Weg, um diese Aufgabe zu berechnen? Weil nach dieser Methode haut es jetzt zwar hin, aber weiß nicht, ob wir das so benutzen dürfen.
Danke für Hilfe.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Fr 19.02.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hi Luis,
> Dann nochmal ne andere Frage. Wie ich ja schon vorher auch
> gesagt habe, diese negative Binomilaverteilung haben wir
> gar nicht gehabt. Gibt es sonst noch einen anderen Weg, um
> diese Aufgabe zu berechnen? Weil nach dieser Methode haut
> es jetzt zwar hin, aber weiß nicht, ob wir das so benutzen
> dürfen.
>
Du brauchst die negative Binomialverteilung ja gar nicht, nur die
geometrische ...
vg Luis
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Hmmmm,
aber Secki hatte ja oben im Post mal angegeben:
[mm] P(\sum_i X_i=n)=\vektor{n-1 \\ 90-1}\cdot{}p^{90}\cdot{}(1-p)^{n-90} [/mm]
So und das ist die negative Bino-verteilung. Und den Ew und die Var berechne ich hier nach :
[mm] E(X)=\bruch{r}{p} [/mm] und [mm] Var(X)=\bruch{r\cdot{}(1-p)}{p^2}, [/mm] so dass ich ja auf E(x)=900 und Var(X)=8100 kam.
Würde ich dies nach der geo.Verteilung machen, da berechnet man ja den EW und die Var nach:
[mm] E(X)=\bruch{1}{p} [/mm] und [mm] Var(X)=\bruch{1}{p^2}-\bruch{1}{p}
[/mm]
Da komm ich ja nicht auf die Werte E(x)=900 und Var(X)=8100????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Fr 19.02.2010 | | Autor: | luis52 |
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> [mm]E(X)=\bruch{1}{p}[/mm] und [mm]Var(X)=\bruch{1}{p^2}-\bruch{1}{p}[/mm]
Besser: [mm]E(X_i)=\bruch{1}{p}[/mm] und [mm]Var(X_i)=\bruch{1}{p^2}-\bruch{1}{p}[/mm]
>
> Da komm ich ja nicht auf die Werte E(x)=900 und
> Var(X)=8100????
Doch, [mm] $\operatorname{E}[\sum X_i]=\sum \operatorname{E}[X_i]=\dots$
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Fr 19.02.2010 | | Autor: | jaruleking |
Ok danke dir, so hauts hin, wäre da aber ohne hilfe nie drauf gekommen.
grüße
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