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Wenn der Grad einer Körpererweiterung (N/K) = 2 ist, wieso folgt dann, dass N/K normal ist?
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Seien E/L/K Körpererweiterungen. Wieso folgt aus E/K normal, dass E/L normal ist?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 So 02.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 1)
> Wenn der Grad einer Körpererweiterung (N/K) = 2 ist, wieso
> folgt dann, dass N/K normal ist?
Eine endliche Koerpererweiterung $N/K$ ist ja genau dann normal, wenn $N$ ein Zerfaellungskoerper eines Polynoms ueber $K$ ist. Da $[N : K] = 2$ ist, ist $N = [mm] K(\alpha)$ [/mm] mit einem [mm] $\alpha \in [/mm] N [mm] \setminus [/mm] K$ dessen Minimalpolynom Grad 2 hat. Wenn jetzt eine Nullstelle (naemlich [mm] $\alpha$) [/mm] davon in $N$ liegt, wo liegt dann die andere? Was bedeutet das fuer $N$?
> 2)
> Seien E/L/K Körpererweiterungen. Wieso folgt aus E/K
> normal, dass E/L normal ist?
Hier kommt es ein wenig darauf an, was ihr ueber Normalitaet etc. wisst. Bei endlichen Erweiterungen und wenn ihr die Aequivalenz mit den Zerfaellungskoerpern hattet (die ich oben schon benutzt/erwaehnt hatte) dann ist's einfach, dann nimm dir einfach ein Polynom $f [mm] \in [/mm] K[x]$ fuer welches $E$ ein Zerfaellungskoerper ist...
LG Felix
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Danke für die Antwort. Trotzdem ist mir noch nicht alles klar.
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> Wenn jetzt eine Nullstelle (naemlich [mm]\alpha[/mm]) davon in [mm]N[/mm]
> liegt, wo liegt dann die andere? Was bedeutet das fuer [mm]N[/mm]?
Ich vermute, dass die weitere Nullstelle des Minimalpolynoms auch in N liegt, damit wäre N dann ein Zerfällungskörper. Stimmt das? Wenn ja, warum liegt die weitere Nullstelle in N?
zu 2)
> Seien E/L/K Körpererweiterungen. Wieso folgt aus E/K
> normal, dass E/L normal ist?
Ok, wenn ich dieses Polynom $ f [mm] \in [/mm] K[x] $ habe, dann kann ich es auch als ein Polynom $ f [mm] \in [/mm] L[x] $ auffassen, und dafür ist E dann immer noch Zerfällungskörper, also E/L normal. Richtig?
Vielen Dank nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mo 03.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> zu 1)
> > Wenn jetzt eine Nullstelle (naemlich [mm]\alpha[/mm]) davon in [mm]N[/mm]
> > liegt, wo liegt dann die andere? Was bedeutet das fuer [mm]N[/mm]?
>
> Ich vermute, dass die weitere Nullstelle des
> Minimalpolynoms auch in N liegt, damit wäre N dann ein
> Zerfällungskörper. Stimmt das?
Ja.
> Wenn ja, warum liegt die weitere Nullstelle in N?
Tja, darauf musst du jetzt selber kommen ;)
Aber einen Tipp hab ich noch: wenn [mm] $\beta$ [/mm] die andere Nullstelle ist, wie sieht dann das Minimalpolynom aus? Die Koeffizienten sind ja in $K$... Kannst du damit etwas ueber [mm] $\beta$ [/mm] aussagen?
> zu 2)
> > Seien E/L/K Körpererweiterungen. Wieso folgt aus E/K
> > normal, dass E/L normal ist?
>
> Ok, wenn ich dieses Polynom [mm]f \in K[x][/mm] habe, dann kann ich
> es auch als ein Polynom [mm]f \in L[x][/mm] auffassen, und dafür ist
> E dann immer noch Zerfällungskörper, also E/L normal.
> Richtig?
Genau.
LG Felix
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