Normale Körpererweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Körpererweiterung E : K ist genau dann normal, wenn jedes irreduzible f ∈ K[x] über E in irreduzible Faktoren zerfä̈llt, die alle denselben Grad haben.
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Ich muss diese Aufgabe lösen, hänge aber etwas. Die einzige Richtung bzw. der einzige Fall der noch fehlt ist, dass f über dem großen Körper reduzibel ist, aber keine Nullstellen hat.
Eine Lösungsidee hätte ich, wenn folgendes gilt (da bin ich mir aber leider nicht sicher bzw. kann es nicht zeigen):
Sei [mm] \alpha [/mm] eine Nullstelle von f. Dann ist [mm] F[\alpha], [/mm] also der Körper F erweitert um [mm] \alpha [/mm] auch normal über K.
Bin mal gespannt ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Mi 10.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Eine Körpererweiterung E : K ist genau dann normal, wenn
> jedes irreduzible f ∈ K[x] über E in irreduzible
> Faktoren zerfä̈llt, die alle denselben Grad haben.
Wie genau habt ihr denn normal definiert?
> Ich muss diese Aufgabe lösen, hänge aber etwas. Die einzige
> Richtung bzw. der einzige Fall der noch fehlt ist, dass f
> über dem großen Körper reduzibel ist, aber keine
> Nullstellen hat.
>
> Eine Lösungsidee hätte ich, wenn folgendes gilt (da bin ich
> mir aber leider nicht sicher bzw. kann es nicht zeigen):
>
> Sei [mm]\alpha[/mm] eine Nullstelle von f. Dann ist [mm]F[\alpha],[/mm] also
> der Körper F erweitert um [mm]\alpha[/mm] auch normal über K.
Das stimmt so nicht. Gegenbeispiel: $F = K = [mm] \IQ$ [/mm] und $f = [mm] x^3 [/mm] - 2$.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 11.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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