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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 So 12.09.2010 | | Autor: | cantor |
Hallo zusammen,
es geht um zwei Beweise, in denen die Eigenschaft "normal" (für Körpererweiterung) gezeigt werden soll. Bei beiden bekomme ich keine saubere Argumentation hin, obwohl die Aussagen naheliegend sind.
1. Eine endliche galoissche Erweiterung ist normal.
2. Quadratische Erweiterungen (d.h. Grad 2) sind normal
Zu 1.
Sei $K/k$ endlich und galoissch
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] K/k algebraisch
Demnach hat jedes $u [mm] \in [/mm] K$ ein Minimalpolynom. Man kann zeigen, dass dieses über $K$ in Linearfaktoren zerfällt, der Beweis ist mir klar.
Damit wäre also gezeigt, dass der Körper K die Menge der Minimalpolynome $ [mm] \left \{ m_u | u \in K \right \}$ [/mm] zerfällt.
Es bleibt zu zeigen, dass $K = k(W)$ für eine Menge von Nullstellen von $ [mm] \left \{ m_u | u \in K \right \}$ [/mm] ist.
Gleichbedeutend: Zeige $K = k(K)$
[mm] $\subseteq$ [/mm] ist trivial.
[mm] $\supseteq [/mm] $ ist wahrscheinlich auch trivial, aber ich sehe das nicht.
Gilt $K = k(K)$ auch in einem allgemeineren Kontext, also zum Beispiel für alle Erweiterungen $K/k$ oder wenigstens alle algebraischen Erweiterungen?
zu 2.
Es gelte also $[K:k] = 2$. Sei $u$ aus $K$ ohne $k$
Dann ist das Minimalpolynom von $u$ von der Form
$(x-u)(x-v)$ in [mm] $\overline{k}$ [/mm]
FRAGE: verstehe ich nicht. Wie kann man diese Form des Minimalpolynoms folgern? Bezeichnet [mm] $\overline{k}$ [/mm] den algebraischen Abschluss von $k$?
Die nächste Folgerung lautet:
$K = k(u)$ ist ZFK des Minimalpolynoms von $u$.
FRAGE: Auch hier sehe ich weder die Gleichheit $K = k(u)$ noch verstehe ich warum es ein ZFK ist. Schließlich könnte $v$ ja auch außerhalb von $k(u)$ liegen.
Wenn die zwei Fragen geklärt sind, wäre die Behauptung bewiesen.
VIELEN DANK
und Grüße,
cantor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:30 Sa 18.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo zusammen,
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> es geht um zwei Beweise, in denen die Eigenschaft "normal"
> (für Körpererweiterung) gezeigt werden soll. Bei beiden
> bekomme ich keine saubere Argumentation hin, obwohl die
> Aussagen naheliegend sind.
>
> 1. Eine endliche galoissche Erweiterung ist normal.
> 2. Quadratische Erweiterungen (d.h. Grad 2) sind normal
Wie genau sind "normal" und "galoissch" bei euch definiert?
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:47 Sa 18.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo zusammen,
>
> es geht um zwei Beweise, in denen die Eigenschaft "normal"
> (für Körpererweiterung) gezeigt werden soll. Bei beiden
> bekomme ich keine saubere Argumentation hin, obwohl die
> Aussagen naheliegend sind.
>
> 1. Eine endliche galoissche Erweiterung ist normal.
> 2. Quadratische Erweiterungen (d.h. Grad 2) sind normal
>
> Zu 1.
> Sei [mm]K/k[/mm] endlich und galoissch
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] K/k algebraisch
> Demnach hat jedes [mm]u \in K[/mm] ein Minimalpolynom. Man kann
> zeigen, dass dieses über [mm]K[/mm] in Linearfaktoren zerfällt,
> der Beweis ist mir klar.
Ok.
> Damit wäre also gezeigt, dass der Körper K die Menge der
> Minimalpolynome [mm]\left \{ m_u | u \in K \right \}[/mm]
> zerfällt.
Wie meinst du diesen Satz? Dass die Menge der Min.polynome ueber $K$ in Linearfaktoren zerfaellt?
> Es bleibt zu zeigen, dass [mm]K = k(W)[/mm] für eine Menge von
> Nullstellen von [mm]\left \{ m_u | u \in K \right \}[/mm] ist.
> Gleichbedeutend: Zeige [mm]K = k(K)[/mm]
>
> [mm]\subseteq[/mm] ist trivial.
Ja.
> [mm]\supseteq[/mm] ist wahrscheinlich auch trivial, aber ich sehe
> das nicht.
Nun, $k(K)$ enthaelt per Definition jedes Element aus $K$. Damit git $K [mm] \subseteq [/mm] k(K)$.
> Gilt [mm]K = k(K)[/mm] auch in einem allgemeineren Kontext, also zum
> Beispiel für alle Erweiterungen [mm]K/k[/mm] oder wenigstens alle
> algebraischen Erweiterungen?
Das gilt fuer jede beliebige Koerpererweiterung $K/k$, sie muss nicht algebraisch oder gar endlich sein.
> zu 2.
> Es gelte also [mm][K:k] = 2[/mm]. Sei [mm]u[/mm] aus [mm]K[/mm] ohne [mm]k[/mm]
>
> Dann ist das Minimalpolynom von [mm]u[/mm] von der Form
> [mm](x-u)(x-v)[/mm] in [mm]\overline{k}[/mm]
> FRAGE: verstehe ich nicht. Wie kann man diese Form des
> Minimalpolynoms folgern? Bezeichnet [mm]\overline{k}[/mm] den
> algebraischen Abschluss von [mm]k[/mm]?
Also, erstmal siehst du, dass das Minimalpolynom $u$ als Nullstelle hat. Damit kannst du Polynomdivision machen durch $x - u$, und es bleibt ein Polynom von Grad 1 ohne Rest ueber. Das Polynom ist normiert, also von der Form $x - v$ fuer irgendein passendes $v$. Damit ist $(x - u) (x - v)$ das Minimalpolynom.
> Die nächste Folgerung lautet:
> [mm]K = k(u)[/mm] ist ZFK des Minimalpolynoms von [mm]u[/mm].
> FRAGE: Auch hier sehe ich weder die Gleichheit [mm]K = k(u)[/mm]
> noch verstehe ich warum es ein ZFK ist. Schließlich
> könnte [mm]v[/mm] ja auch außerhalb von [mm]k(u)[/mm] liegen.
Nun, $k(u)$ ist ein Koerper, der $k$ enthaelt, und ein Element welches $k$ nicht hat -- damit gilt $[k(u) : k] [mm] \ge [/mm] 2$. Daraus folgert man $[k(u) : k] = 2$ und $[K : k(u)] = 1$ -- und aus letzterem folgt $K = k(u)$.
Und Polynomdivision mit $x - u$ im Koerper $K$ gibt ein Ergebnis mit Koeffizienten in $K$ -- womit $v$ als Koeffizient vom Quotienten in $K$ liegt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 So 26.09.2010 | | Autor: | cantor |
Hallo Felix,
besten Dank für deine Antwort. Ich werde alles in Ruhe nochmal überdenken. Falls sich doch noch weitere Fragen ergeben melde ich mich nochmal.
Vorab schonmal eine kleine Frage:
zum Thema K = k(K) hattest du geschrieben
"Nun, k(K) enthaelt per Definition jedes Element aus K. Damit git $ K [mm] \subseteq [/mm] k(K) $. "
Aber wie zeigt man die andere Richtung $ K [mm] \supseteq [/mm] k(K) $ ?
Besten Dank,
cantor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:40 Mo 27.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin cantor,
> besten Dank für deine Antwort. Ich werde alles in Ruhe
> nochmal überdenken. Falls sich doch noch weitere Fragen
> ergeben melde ich mich nochmal.
>
> Vorab schonmal eine kleine Frage:
>
> zum Thema K = k(K) hattest du geschrieben
> "Nun, k(K) enthaelt per Definition jedes Element aus K.
> Damit git [mm]K \subseteq k(K) [/mm]. "
>
> Aber wie zeigt man die andere Richtung [mm]K \supseteq k(K)[/mm] ?
ich hatte deine Frage genau falschrum gelesen, sorry!
Also: $K$ ist ein Koerper, der $k$ und $K$ enthaelt. Damit liegt $k(K)$ ebenfalls vollstaendig in $K$.
(Es ist $k(K)$ ja als der kleinste Koerper definiert, der $k$ sowie $K$ enthaelt.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Mo 27.09.2010 | | Autor: | cantor |
perfekt, genau das hatte ich gesucht!
Danke!
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