Normalenform Lage Geraden/Eben < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie kann man die Normalenform für die Untersuchung auf gegenseitige Lage einer Ebene und einer Geraden nutzen? (Wähle geeignete Beispiele.) |
Meine bisherigen Überlegungen:
Die Normalenform der Ebenengleichung ist ( [mm] \overrightarrow{x}- \overrightarrow{p} [/mm] ) * [mm] \overrightarrow{n}=0
[/mm]
Sind ein Spannvektor der Ebene E und ein Richtungsvektor der Geraden g zueinander orthogonal, dann ist die Gerade zur Ebene orthogonal.
Haben ein Normalenvektor der Ebene E und ein Richtungsvektor der Geraden g die gleiche bzw, entgegengesetzte Richtung (also wenn sie Vielfache voneinander sind), dann sind g und E auch zueinander orthogonal.
Ich komme leider nicht weiter. Wie kann man diese Normalenform noch nutzen, um die gegenseitige Lage von g un E zu untersuchen?
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 So 14.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du die Geradengleichung [mm] g:\vec{x}=\vec{a}+\lambda*\vec{v} [/mm] in die Normalenform [mm] (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})*\overrightarrow{n}=0 [/mm] der Ebene Einsetzt, bekommst du ja:
[mm] ((\vec{a}+\lambda*\vec{v})-\overrightarrow{p})*\overrightarrow{n}=0
[/mm]
Das ganze ist eine Gleichung, die nur noch vom Parameter [mm] \lambda [/mm] der Geraden abhängig ist.
Diese hat drei Lösungsvariationen.
1. Es ergibt sich ein konkreter Wert für [mm] \lambda, [/mm] also hat g und E einen Schnittpunkt, dessen Koordinaten du mit Einsetzen von [mm] \lambda [/mm] in g ermitteln kannst.
2. Es gibt keine Lösung, also sind g und E parallel
3. Es gibt eine allgemeingültige Aussage, also ist g komplett in E.
Marius
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Was mir noch nicht ganz klar ist:
Was bedeutet es, wenn es eine "allgemeingültige Aussage" gibt?
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Was mir noch nicht ganz klar ist:
> Was bedeutet es, wenn es eine "allgemeingültige Aussage"
> gibt?
Hallo,
dann kommt z.B. 0=0 raus, eine wahre Aussage, welche durch kein [mm] \lambda [/mm] der Welt verdorben werden kann.
Gruß v. Angela
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