Normalenform bestimmen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Do 26.10.2006 | | Autor: | Tsukasa |
| Aufgabe | | [mm] E:x=\vektor{2 \\ 1\\2}+r*\vektor{1 \\ 3\\0}+s*\vektor{-2 \\ 1\\3} [/mm] |
Hallo,
und zwar habe ich folgendes Problem. Ich soll von dieser Form eine Normalenform und eine Koordinatenform bilden.
Zuerst hab ich das ganze wie folgt geschrieben:
(1.) [mm] n_1+3n_2=0
[/mm]
(2.) [mm] -2n_1+n_2+3n_3=0
[/mm]
dann habe ich das ganze in meinen Taschenrechner mit der Eingabematrix eingegeben und diese Lösungsmatrix erhalten.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1,29\\ 0 & 1 & 0,43 }
[/mm]
Um jetzt aber weiterrechnen zu können brauch ich aber einen neuen Vektor der von der Lösungsmatrix kommt und ich glaube ich für den Vektor X einsetzen muss(?). Nur wie ich das mache das ist mir ein Rätsel^^'
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 26.10.2006 | | Autor: | Tsukasa |
Hallo^^
also auf die Lösungsmatrix bin ich gekommen indem ich diese Matrix in meinen Taschenrechner eingegeben habe, also die Zahlen aus der ersten Form für die Eingabematrix benutzt habe.
Das mit den Normalenvektoren is so das ich halt irgendeinen nehmen kann,aber den Vektor haben wir in der Schule aus der Lösungsmatrix abgeleitet, deswegen bin ich jetzt verwirrt wie das gehen soll.
Das mit der Koordinate eliminieren versteh ich leider nicht>.<
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Do 26.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tsukasa!
Das mit der Matrix sollte aber doch auch ohne Taschenrechner zu lösen sein, oder? 
Zum Eliminieren einer Koordinate:
[1] [mm] n_1+3n_2=0 [/mm]
[2] [mm] -2n_1+n_2+3n_3=0
[/mm]
Daraus wird durch Multiplikation der 1. Gleichung mit $2_$ und anschließend Addition mit der 2. Gleichung:
[mm] $0*n_1+7*n_2+3*n_3 [/mm] \ = \ 0$
Die Koordinate [mm] $n_1$ [/mm] wurde also eliminiert. Durch weiteres Umformen erhalten wir:
[mm] $n_2 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{3}{7}*n_3$
[/mm]
Um nun ganzzahlige Wert für [mm] $n_1$ [/mm] , [mm] $n_2$ [/mm] und [mm] $n_3$ [/mm] zu erhalten, wähle ich: [mm] $n_3 [/mm] \ := \ 7$
Damit wird dann: [mm] $n_2 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{3}{7}*7 [/mm] \ = \ -3$
Und durch weiteres Einsetzen erhält man dann auch [mm] $n_1 [/mm] \ = \ 9$
[mm] $\Rightarrow$ $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{9\\-3\\7}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Do 26.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Tsukasa,
eine andere Möglichkeit einen Normalenvektor zu bestimmen liefert das Kreuzprodukt.
Der Vektor n = a x b steht senkrecht auf a und b. In deiner Aufgabe also senkrecht auf
[mm] a=\vektor{1 \\ 3\\ 0 } [/mm] und
[mm] b=\vektor{-2 \\ 1\\ 3 }
[/mm]
n = a x b = [mm] \vektor{ 9 \\ -3 \\ 7 } [/mm] also lautet die Normalengleichung
[mm] n(\vektor{2 \\ 1 \\ 2 }-x)=0 [/mm] oder ausmultipliziert
9x-3y+7z=25
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Do 26.10.2006 | | Autor: | Tsukasa |
Also erstmal danke für deine Antwort Ullim^^, diese Methode ist sehr gut verständlich und auch wesentlich leichter als meine Art die Aufgabe zu lösen. Das Problem ist jedoch, ich muss das ganze über die Lösungsmatrix machen, da wir es so gelernt haben und nie ein Kreuzprodukt hatten>.<
Und ich muss meist zu der Normalenform noch die Koordinatenform bestimmen, was auch über die Lösungsmatrix geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Do 26.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
zur koordinatenform kommst du wenn du folgendes gleichungssystem aufstellst:
x=2+ r -2s
y=1+ 3r +s
z=2+3s
dies kannst du sicher über matrixumformungen lösen, oder indem du
die parameter r, s schrittweise aus den gleichungen eleminierst.
-3x = -6 -3r +6s I * (-3)
y = 1 +3r + s
------------------- -3* I. + II
-3x +y =-5 +7s IIa.
IIa. * (-3)
9x -3y = 15 -21s IIb.
III *7
z=2+3s
7z=14 + 21s IIIa.
IIb. + IIIa.
9x -3y = 15 -21s
7z=14 + 21s
----------------
9x -3y +7z =29
hieraus folgt die Koordinatengleichung
9x -3y + 7z - 29 =0
den Normalenvektor kann ich hier direkt ablesen:
[mm] \vektor{9 \\ -3 \\ 7}
[/mm]
gruss
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Do 26.10.2006 | | Autor: | Tsukasa |
Oki, ich werd´s mal mit den beiden Lösungsvorschlägen versuchen, ich denke mal das klappt denn auch. Dankeschön^^
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]"){kind=small}
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