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Hallo,
in meinem Buch ist bei der Herleitung der Parameter für eine Ausgleichsgerade nach der Gaußschen Methode der kleinsten Quadrate ein Summenausdruck aufgetaucht, den ich nicht verstehe:
[mm] $n*\summe_{i} x_i^2-\left(\summe_{i} x_i\right)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\summe_{i} \summe_{j}(x_i-x_j)^2 [/mm] >0 $
Könnte bitte jemand etwas Erläuterndes dazu sagen?
Vielen Dank im voraus.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Mi 23.01.2008 | | Autor: | luis52 |
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> Könnte bitte jemand etwas Erläuterndes dazu sagen?
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Moin Martinius,
was ist denn unklar? Das Gleichhitszeichen? Die Ungleichung?
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Martinius |
Moin luis,
dass das Ungleichheitszeichen stimmt, hab ich an einem Beispiel ausgerechnet.
Das Gleichheitszeichen ist mir unklar. Auch die Umindizierung, der Faktor [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] der verschwindende Faktor n, die Klammer mit den verschieden indizierten x'en im Quadrat. Die ganze Umformung eben.
Lg, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mi 23.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo Martinius,
schauen wir uns mal die Summen an und nennen sie (L)inks und (R)echts.
[mm] \begin{matrix}
R&=&
\summe_{i} \summe_{j}(x_i-x_j)^2\\
&=&\summe_{i} \summe_{j}(x_i^2-2x_ix_j+x_j^2) \\
&=&\summe_{i} \summe_{j}x_i^2-2\summe_{i}\summe_{j}x_ix_j +\summe_{i}\summe_{j}x_j^2\\
&=&n\summe_{i}x_i^2-2\summe_{i}\summe_{j}x_ix_j+n\summe_{j}x_j^2 \\
&=&2n\summe_{i}x_i^2-2\summe_{i}\summe_{j}x_ix_j
\end{matrix}
[/mm]
Weiter ist
[mm] \begin{matrix}
L&=&
n\summe_{i} x_i^2-\left(\summe_{i} x_i\right)^2\\
&=&n\summe_{i} x_i^2-\summe_{i} x_i\times\summe_{j} x_j \\
&=&n\summe_{i} x_i^2-\summe_{i}\summe_{j} x_i x_j\\
&=&R/2
\end{matrix}
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo luis,
Super! Ich wusste schon immer: man hat Vorteile, wenn man Mathematiker ist.
Vielen Dank!
Lieben Gruß, Martin
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