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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Do 21.11.2013 | | Autor: | MiriP123 |
| Aufgabe | Eine kreisförmige Zielscheibe ist gegen den Boden geneigt aufgestellt. Der Mittelpunkt der Zielscheibe befindet sich 2m über dem Boden. Ein Pfeil hat die Zielscheibe rechtwinklig in ihrem Mittelpunkt getroffen. Das Pfeilende P ist 60cm von der Zielscheibe und 2,30m vom Boden entfernt. Legen sie ein geeignetes Koordinatensystem fest.
a) bestimmen sie eine Gleichung für die Gerade, die durch den Pfeil festgelegt ist.
b) bestimmen sie eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene, die durch die Oberfläche der Zielscheibe festgelegt ist. |
Also, meine Idee war, dass ich den Mittelpunkt der Scheibe als (0/0/2) bezeichne. Da der Pfeil die Scheibe rechtwinklig trifft kann man die x2-Koordinate über den Satz des Pythagoras ausrechnen (stimmt das), dann wäre der Punkt P bei mir (-0,6/-0,67/2,3), wenn die beiden Punkte stimmen, würde die Gleichung für die Gerade so aussehen:
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] r*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0,3 \end{pmatrix} [/mm] = x ?
und bei der b weiß ich nicht wie es weiter geht... ich habe als Punkt auf der Ebene ja (0/0/2) gegeben, aber um für die Scheibe eine Ebenengleichung aufzustellen brauche ich ja noch 2 Koordinaten... Wie finde ich diese?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Satz des Pythagoras ausrechnen (stimmt das), dann wäre der
> Punkt P bei mir (-0,6/-0,67/2,3), wenn die beiden Punkte
Nee, das stimmt nicht. Der Pfeil soll ja senkrecht in der Ebene stecken, und die Ebene ist nur nach oben gekippt, nicht zur Seite. Daher sollte die mittlere Koordinate 0 sein.
Aber der Pythagoras ist grundsätzlich nicht verkehrt, denn die 60cm sind die Länge des Pfeils (ohne das Stück, das in die Scheibe eingedrungen ist)
Daher ist die x1-Koordinate nicht 0,6m, sondern etwas kürzer.
> stimmen, würde die Gleichung für die Gerade so aussehen:
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]r*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0,3 \end{pmatrix}[/mm] = x ?
Der Stützvektor is OK, allerdings der Richtungsvektor nicht, denn der zeigt exakt nach oben! Denk dran: Vom hinteren Pfeilende P bis zum Zentrum der Scheibe hast du eine waagerechte Komponente, die du per Pythagoras berechnet hast, und eine senkrechte von 0,3m. Hier mußt du also ein wenig nachbessern. Denk dabei auch an die Vorzeichen, die x3-Komponente sollte in deinem Koordinatensystem negativ sein, denn der Pfeil ist ja nach unten geneigt.
> und bei der b weiß ich nicht wie es weiter geht... ich
> habe als Punkt auf der Ebene ja (0/0/2) gegeben, aber um
> für die Scheibe eine Ebenengleichung aufzustellen brauche
> ich ja noch 2 Koordinaten... Wie finde ich diese?
Denk dran, was gegeben ist: Du hast mittlerweile die Grade, du hast einen Punkt auf der Scheibe, und du weißt, daß die Grade senkrecht auf der Scheibe steht. Jetzt ist die Normalenform [mm] (\vec{x}-\vec{a})*\vec{n}=0 [/mm] gefragt. (Was ist das nochmal?) Im Prinzip brauchst du nur noch das richtige für [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{n} [/mm] einsetzen.
Anschließend kannst du rechnen:
[mm] (\vec{x}-\vec{a})*\vec{n}=0
[/mm]
[mm] \vec{x}*\vec{n}-\vec{a}*\vec{n}=0
[/mm]
[mm] \vec{x}*\vec{n}=\vec{a}*\vec{n}
[/mm]
Rechts steht ein Skalarprodukt von bekannten Vektoren, das kannst du also ausrechnen. Und links setzt du [mm] \vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] , und rechnest das auch so weit wie es geht aus. Das ist dann die Koordinatenform.
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