Normalenvektor < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 So 06.02.2005 | | Autor: | bim |
Hallo,
ich hätte eine kleine Frage:
Nehmen wir mal an eine Ebene hat die Koordinatenform:
2x - y + z - 4 = 0
Ist der Normalenvektor dazu dann
[mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
?
Danke schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 So 06.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo bim
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
>
> ich hätte eine kleine Frage:
>
> Nehmen wir mal an eine Ebene hat die Koordinatenform:
>
> 2x - y + z - 4 = 0
>
> Ist der Normalenvektor dazu dann
> [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Ich würde sagen: ja, es ist einer von vielen.
Eigentlich gibt es nicht den Normalenvektor. Dein von dir angegebener Vektor steht tatsächlich senkrecht zur dargestellten Ebene. Aber es ist nicht der einzige! Du darfst diesen nämlich nach Belieben verlängern oder verkürzen. Also auch
[mm] $\vektor{6 \\ -3 \\ 3}$
[/mm]
ist ein Normalenvektor.
Das siehst du sofort ein, wenn du deine Ebenengleichung mit 3 multiplizierst. Dann keisst sie:
$6x-3y+3z-12=0$
Und die stellt offensichtlich die gleiche Ebene dar.
Für besondere Betrachtungen ist es oft hilfreich, einen Normalenvektor zu nehmen, der die Länge $1_$ hat. In deinem Fall müsste man deinen Vektor einfach durch [mm] $\wurzel{6}$ [/mm] dividieren und erhielte dann die Bezeichnung Normaleneinheitsvektor.
Die zugehörige Ebenengleichung hätte dann diese Gestalt:
[mm] $\bruch{2}{\wurzel{6}}x- \bruch{1}{\wurzel{6}}y+\bruch{1}{\wurzel{6}}z-\bruch{4}{\wurzel{6}} [/mm] =0$
Das ist die sogenannte Hessesche Normalform.
Vorsicht: Oftmals wird unter dem Normalenvektor der Normaleneinheitsvektor verstanden. Das musst du in deinen Unterlagen Nachschlagen, ob das bei euch so gemeint ist. Dann wäre es ehe Sinnvon, vom Normalenvektor (im Singular) zu sprechen, wenngleich es auch dann vnoch 2 davon gäbe.
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Di 08.02.2005 | | Autor: | OMR |
Jep der Normalenvektor stimmt.
|
|
|
|
