Normalenvektor Abstand Punkt < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Mi 25.05.2005 | | Autor: | hase-hh |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin, moin,
habe folgendes Problem:
Aufgabe
E: x -> (0/1/0) + s (2/1/0) + t (0/1/1)
a) Gib eine Normalengleichung von E an!
n ° (2/1/1) = 0 und n ° (0/1/1) = 0
2n1 + n2 = 0 und n2 + n3 = 0
n1 = - 1/2 n2 und n3 = -n2
setze n2 = -2
=> n1=1 ; n2=-2; n3=2
n = (1/-2/2)
Normalengleichung:
n ° (x - a) = 0
n ° x - n ° a = 0
(1/-2/2) ° x - (1/-2/2)°(0/1/0) = 0
=> x1 - 2x2 + 2x3 + 2 = 0
b) zeige, dass die gerade g durch A (4(3/6,5) mit dem Richtungsvektor (2/0/-1) parallel zu E ist.
g : x -> (4/3/6,5) + s (2/0/1)
für g II E gilt u ° n = (2(0/1) ° (1/-2/2) = 2-0-2 = 0 d.h. g II E
1. Frage: Ist die Untersuchung "g c E" eine alternative Lösungsmöglichkeit?
Verstehe den Ansatz nicht ganz... => ???
n ° (x-a) = (1/-2/2) ° (4/3/6,5) - (1/-2/2) ° (2/0/-1) ) = 4 - 6 + 13 -2 +2 = 11
[korrekt?]
1.1. Frage:
ist also nicht null, würde doch für einen schnittpunkt sprechen oder???
c) berechne den abstand der geraden g zu E! [bzw. von A g zu E]
I n I = wurzel (1*1 + (-2)*(-2) + 2*2) = 3
2. Frage:
Warum ist das denn jetzt nicht der Abstand zwischen g und E?
Was muss ich tun?
3. Frage
Wie bestimme ich die Koordinaten des Punktes, wo der Normalenvektor "aufhört"?
Vielen Dank für Eure Hilfe!!!
gruss
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Wolfgang,
dir ein herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Schade, dass du noch nicht unseren Formeleditor benutzt hast, weil dadurch deine Fragen nicht ganz so leicht zu verstehen sind.
Nun dazu:
> a) Gib eine Normalengleichung von E an!
>
>
> n ° (2/1/1) = 0 und n ° (0/1/1) = 0
>
> 2n1 + n2 = 0 und n2 + n3 = 0
>
> n1 = - 1/2 n2 und n3 = -n2
>
>
> setze n2 = -2
>
>
> => n1=1 ; n2=-2; n3=2
>
> n = (1/-2/2)
>
>
> Normalengleichung:
>
> n ° (x - a) = 0
>
> n ° x - n ° a = 0
>
>
> (1/-2/2) ° x - (1/-2/2)°(0/1/0) = 0
>
>
> => x1 - 2x2 + 2x3 + 2 = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) zeige, dass die gerade g durch A (4(3/6,5) mit dem
> Richtungsvektor (2/0/-1) parallel zu E ist.
>
>
> g : x -> (4/3/6,5) + s (2/0/1)
>
>
> für g II E gilt u ° n = (2(0/1) ° (1/-2/2) = 2-0-2 = 0
> d.h. g II E
> 1. Frage: Ist die Untersuchung "g c E" eine alternative
> Lösungsmöglichkeit?
Ja, wobei du dann erwartest, dass entweder $g [mm] \cap E=\{\}$ [/mm] also echt parallel oder $g [mm] \cap [/mm] E = g$ also ist die Gerade vollständig enthalten in E.
> Verstehe den Ansatz nicht ganz... => ???
>
> n ° (x-a) = (1/-2/2) ° (4/3/6,5) - (1/-2/2) ° (2/0/-1) ) =
> 4 - 6 + 13 -2 +2 = 11
>
> [korrekt?]
Hier wird doch nur noch überprüft, ob der Stützvektor/Aufpunkt selbst zu Ebene $E$ gehört um zu entscheiden, ob die Gerade vollständig enthalten oder echt parallel ist.
> 1.1. Frage:
> ist also nicht null, würde doch für einen schnittpunkt
> sprechen oder???
Nein, da $11=11$ ist [mm] $\vec{a}\in [/mm] E$.
> c) berechne den abstand der geraden g zu E! [bzw. von A g
> zu E]
>
> I n I = wurzel (1*1 + (-2)*(-2) + 2*2) = 3
> 2. Frage:
> Warum ist das denn jetzt nicht der Abstand zwischen g und
> E?
> Was muss ich tun?
Du hast gerade nur die Länge deines gewählten Normalenvektors bestimmt. Du erinnerst dich, du hast einfach [mm] $n_3=2$ [/mm] gesetzt, hättest du dort [mm] $n_3=200$ [/mm] gestetzt, hätte er jetzt die Länge $300$. Also kann das nicht der Abstand sein....
> 3. Frage
> Wie bestimme ich die Koordinaten des Punktes, wo der
> Normalenvektor "aufhört"?
Leg doch eine orthogonale Gerade zu $E$ durch $A$. Der Abstand von $A$ zum Durchstosspunkt ist die Entfernung zwischen $A$ und $E$.
Gruß Max
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