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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Lewser |
| Aufgabe | | Berechnen Sie einen Normalenvektor der Ebene, in der die Gerade [mm] \vec{r}=\vektor{ 1 \\ -2 \\ 0 }+\lambda\vektor{-2 \\ -1 \\ 3} [/mm] und der Punkt [mm] P_{0} [/mm] (-1;3;2) liegen und geben sie die Ebenengleich sowohl in Komponentenschreibweise als auch in Parameterdarstellung an. |
Meine Herangehensweise:
[mm] \rightarrow [/mm] Einen Vektor gebildet aus dem Stützvektor der Ebene und dem gegebenen Punkt [mm] P_{0}.
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] mit diesem Vektor und [mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 3} [/mm] das Kreuzprodukt gebildet, um einen Normalenvektor zu bekommen
Die Parameterdarstellung ist mir bewusst: [mm] \vec{r}=\vec{r_{1}}+\lambda\vec{a}+\mu\vec{b} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] habe ich ja aus dem Punkt berechnen können.
Was ist mit Komponentendarstellung gemeint? Ist es ax+by+cz+d=0 ?
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Hallo Lewser,
> Berechnen Sie einen Normalenvektor der Ebene, in der die
> Gerade [mm]\vec{r}=\vektor{ 1 \\
-2 \\
0 }+\lambda\vektor{-2 \\
-1 \\
3}[/mm]
> und der Punkt [mm]P_{0}[/mm] (-1;3;2) liegen und geben sie die
> Ebenengleich sowohl in Komponentenschreibweise als auch in
> Parameterdarstellung an.
> Meine Herangehensweise:
>
> [mm]\rightarrow[/mm] Einen Vektor gebildet aus dem Stützvektor der
> Ebene und dem gegebenen Punkt [mm]P_{0}.[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] mit diesem Vektor und [mm]\vektor{-2 \\
-1 \\
3}[/mm]
> das Kreuzprodukt gebildet, um einen Normalenvektor zu
> bekommen
Ja, genau so geht das. Du höttest ihn noch angeben können (den Normalenvektor), dann können wir ihn kontrollieren.
>
> Die Parameterdarstellung ist mir bewusst:
> [mm]\vec{r}=\vec{r_{1}}+\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm]
> habe ich ja aus dem Punkt berechnen können.
>
> Was ist mit Komponentendarstellung gemeint? Ist es
> ax+by+cz+d=0 ?
Ja, das wird wohl so sein, wobei ich auch sagen muss, dass das eine eher ungewöhnliche Bezeichnung ist. Für gewöhnlich wird diese Form als Koordinatengleichung oder auch Koordinatenform bezeichnet.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Daher kam auch meine Unsicherheit, ich habe aus allen Darstellungsformen nur jene deuten können. Rechnung hatte ich vorenthalten, weil ich erst einmal absichern wollte, ob meine Herangehensweise grafisch richtig war.
Für [mm] \vec{b} [/mm] habe ich heraus [mm] \vektor{-2 \\ 5 \\ 2}, [/mm] aus [mm] \vec{b}=\vec{r_{P}}-\vec{r_{1}}=\vektor{-1 \\ 3 \\ 2}-\vektor{1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
Mein Normalenvektor der Ebene ist [mm] \vec{n}=\vektor{-17 \\ -2 \\ -12}
[/mm]
Der kommt mir bereits Merkwürdig vor, habe aber nach mehrmaligem Nachrechnen keinen Fehler finden können, bei Bedarf schreibe ich die Rechnung dazu gerne ausführlich hin.
Daraus dann n berechnet mit [mm] n=\wurzel{289+4+144}=\wurzel{437}
[/mm]
[mm] \rightarrow -17x-2y-12z-\wurzel{437}=0
[/mm]
Wie soll ich sagen ... das Ergebnis kommt mir sehr Übungsaufgaben-untypisch vor.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Ich weiss nicht woher ich es habe, aber ich dachte das "d" ist der Betrag des Normalenvektors ...
Aber weiter bin ich damit leider nicht, weil ich es anscheinend nicht richtig verstehe.
Bedient habe ich mich dieser Formel: [mm] \vec{n}(\vec{r}-\vec{r_{1}})=0
[/mm]
[mm] \rightarrow \vektor{-17 \\ -2 \\ -12}*\vektor{x+2 \\ y-5 \\ z-2}=0
[/mm]
Wenn ich das berechne bekomme ich für d Null heraus. Das kann doch eigentlich nicht richtig sein, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lewser!
Bei der Normalenform [mm]E \ : \ \vec{n}*\left[ \ \vec{x}-\vec{p} \ \right] \ = \ \vec{n}*\vec{x}-\vec{n}*\vec{p} \ = \ \vec{n}*\vec{x}-d \ = \ 0[/mm] gibt [mm]\vec{p}[/mm] den Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene an.
Aus der Aufgabenstellung hier bieten sich dafür entweder [mm]\vec{p}_1 \ = \ \vektor{1\\
-2\\
0}[/mm] oder [mm]\vec{p}_2 \ = \ \vektor{-1\\
3\\
2}[/mm] an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Okay, das habe ich soweit verstanden, aber sind nicht die beiden Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] mit dem Skalar 1 auch Punkte in der Ebene?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lewser!
> aber sind nicht die beiden Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] mit dem Skalar 1 auch
> Punkte in der Ebene?
Nein. Diese beiden Vektoren sind Richtungsvektoren der Ebene und spannen diese Ebene von einem bestimmten Punkt aus auf.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Natürlich, habe es mir gerade noch einmal aufgezeichnet. Vielen Dank!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Was machst Du hier? Für die Ebenengleichung musst Du nunmehr das 
Skalarprodukt