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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Normalenvektor eines Kreises
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Normalenvektor eines Kreises: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:21 Sa 01.08.2009
Autor: Denny22

Hallo an alle,

wie berechnet man den Normalenvektor eines Kreises im [mm] $\IR^2$ [/mm] für beliebige (auf dem Rand liegende und in Koordinatenform gegebene) Punkte?

Meine Idee:

Sei [mm] $x=\vektor{x_1 \\ x_2}\in\partial B_R(0)\subset\IR^2$ [/mm] ein Punkt vom Rand, so gilt für die Polarform [mm] ($\IC\cong\IR^2$) [/mm]
     [mm] $x=R\cdot e^{i\varphi}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi)=\vektor{R\cos\varphi \\ R\sin\varphi}$ [/mm]
wobei
     [mm] $\varphi=\left(\mathrm{sgn}x_2+1-\left|\mathrm{sgn}x_2\right|\right)\cdot\arccos\left(\frac{x_1}{R}\right)\in]-\pi,\pi]$ [/mm]
Demzufolge ist der äußere Normaleneinheitsvektor im Punkt [mm] $x=\vektor{x_1 \\ x_2}\in\partial B_R(0)$ [/mm] gegeben durch
     [mm] $\vec{n}(x):=\vektor{\cos\varphi \\ \sin\varphi}=\vektor{\cos\left(\left(\mathrm{sgn}x_2+1-\left|\mathrm{sgn}x_2\right|\right)\cdot\arccos\left(\frac{x_1}{R}\right)\right) \\ \sin\left(\left(\mathrm{sgn}x_2+1-\left|\mathrm{sgn}x_2\right|\right)\cdot\arccos\left(\frac{x_1}{R}\right)\right)}$ [/mm]
Stimmt diese Vorgehensweise?

Bislang habe ich immer mit Dirichlet-Nullrandbedingungen gearbeitet und dabei waren die Normalenableitungen immer $0$.

Gruß Denny

        
Bezug
Normalenvektor eines Kreises: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 Sa 01.08.2009
Autor: XPatrickX

Hallo,

für eine Paramtrisierung
[mm] $$\alpha(t)=\left( x(t) \; , \; y(t) \right)$$ [/mm]
lautet der Normalenvektor:
[mm] $$n(t)=\left( \dot{y}(t) \; , \; -\dot{x}(t) \right)$$ [/mm]


Gruß Patrick

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Bezug
Normalenvektor eines Kreises: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 Sa 01.08.2009
Autor: Leopold_Gast

Und weil bei einem Kreis eine Tangente immer senkrecht auf dem zugehörigen Radiusvektor steht - wozu bedarf es da überhaupt noch einer Rechnung?

Bezug
                
Bezug
Normalenvektor eines Kreises: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:27 Sa 01.08.2009
Autor: Denny22

Vielen Dank für Eure Antworten. Diese bestätigen meine Überlegungen.

Gruß

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