Normalform PDE < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Betrachte folgende PDGL
$4u_{xx} - 2(x+y) \cdot u_{xy} + xy \cdot u_{yy} +x^{2} \cdot u_{x} -y^{2}u = 0$
Klassifiziere die Gleichung und gib für den hyperbolischen Fall die Normalform an. |
Guten Morgen,
Nachdem kommende Woche eine Klausur in Differentialgleichungen ansteht komme ich nicht umhin einige Fragen zu stellen :)
Zur Klassifikation genügt es ja den Teil
$a_{1}u_{xx} + 2a_{2}u_{xy} + a_{3}u_{yy}$ zu betrachten.
Die Diskreminante $\Delta = a_{2}^2 -a_{1}a_{3} $ ist in unserem Fall :
$\Delta = (x+y)^2 -4xy = (x-y)^2 $ für $x=y$ liegt eine parabolische Gleichung vor und für $ x \neq y$ eine hyperbolische.
Nun zur Normalform.
Ich habe derzeit leider mein Skript nicht zur Hand , aber ich erinnere mich an:
wir benötigen Funktionen s und t , welche man aus:
$\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{-a_{2} + \sqrt{\Delta}}{a_{1} $ und $\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{-a_{2} - \sqrt{\Delta}}{a_{1}}$ gewinnt.
einsetzen liefert:
$\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{x}{2}$ sowie $\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}$
wenn wir dies nun in $s_{x}dx + s_{y}dy$ und $$t_{x}dx + t_{y}dy$ einsetzen erhalten wir s(x,y) , t(x,y) ,also:
$xdx +2dy = 0$ , die Gl. ist natürlich exakt und somit :
$\int xdx = \frac{x^2}{2} + g'(y) \Rightarrow g(y) = \int 2dy = 2y$ , also
$s(x,y) = \frac{x^2}{2} +2y$
gleiches für $\frac{t_{x}}{t_{y}} $ führt uns zu (da die Gl. nicht exakt ist etwas mühsamer)
$t(x,y) = \frac{y}{e^{x/2}} - \frac{1}{e^{x/2}} $
und nun müsste ich das durch eine ,daraus resutierende ,neue Gleichung auf die Form:
$ A \cdot u_{st} + B_{1} \cdot u_{s} + B_{2} \cdot u_{t} +cu $
bringen.
Ist das bis hierhin mal richtig?
Beste Grüße und Dank
Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Betrachte folgende PDGL
>
> [mm]4u_{xx} - 2(x+y) \cdot u_{xy} + xy \cdot u_{yy} +x^{2} \cdot u_{x} -y^{2}u = 0[/mm]
>
> Klassifiziere die Gleichung und gib für den hyperbolischen
> Fall die Normalform an.
>
> Guten Morgen,
>
> Nachdem kommende Woche eine Klausur in
> Differentialgleichungen ansteht komme ich nicht umhin
> einige Fragen zu stellen :)
>
> Zur Klassifikation genügt es ja den Teil
>
> [mm]a_{1}u_{xx} + 2a_{2}u_{xy} + a_{3}u_{yy}[/mm] zu betrachten.
>
> Die Diskreminante [mm]\Delta = a_{2}^2 -a_{1}a_{3}[/mm] ist in
> unserem Fall :
> [mm]\Delta = (x+y)^2 -4xy = (x-y)^2[/mm] für [mm]x=y[/mm] liegt eine
> parabolische Gleichung vor und für [mm]x \neq y[/mm] eine
> hyperbolische.
>
> Nun zur Normalform.
>
> Ich habe derzeit leider mein Skript nicht zur Hand , aber
> ich erinnere mich an:
>
> wir benötigen Funktionen s und t , welche man aus:
>
> [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{-a_{2} + \sqrt{\Delta}}{a_{1}[/mm]
> und [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{-a_{2} - \sqrt{\Delta}}{a_{1}}[/mm]
> gewinnt.
>
> einsetzen liefert:
>
> [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{x}{2}[/mm] sowie [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
>
> wenn wir dies nun in [mm]$s_{x}dx[/mm] + [mm]s_{y}dy$[/mm] und [mm]$$t_{x}dx[/mm] +
> [mm]t_{y}dy$[/mm] einsetzen erhalten wir s(x,y) , t(x,y) ,also:
>
> [mm]xdx +2dy = 0[/mm] , die Gl. ist natürlich exakt und somit :
> [mm]\int xdx = \frac{x^2}{2} + g'(y) \Rightarrow g(y) = \int 2dy = 2y[/mm]
> , also
> [mm]s(x,y) = \frac{x^2}{2} +2y[/mm]
>
> gleiches für [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}}[/mm] führt uns zu (da die Gl.
> nicht exakt ist etwas mühsamer)
> [mm]t(x,y) = \frac{y}{e^{x/2}} - \frac{1}{e^{x/2}}[/mm]
>
Das erfüllt nicht die Bedingung
[mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
> und nun müsste ich das durch eine ,daraus resutierende
> ,neue Gleichung auf die Form:
>
> [mm]A \cdot u_{st} + B_{1} \cdot u_{s} + B_{2} \cdot u_{t} +cu[/mm]
>
> bringen.
>
Wenn t(x,y) die obengenannte Bedingung erfüllt,
dann bringt Dich das auf diese Form.
> Ist das bis hierhin mal richtig?
>
> Beste Grüße und Dank
>
> Thomas
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
> Hallo Thomas_Aut,
>
> > Betrachte folgende PDGL
> >
> > [mm]4u_{xx} - 2(x+y) \cdot u_{xy} + xy \cdot u_{yy} +x^{2} \cdot u_{x} -y^{2}u = 0[/mm]
>
> >
> > Klassifiziere die Gleichung und gib für den hyperbolischen
> > Fall die Normalform an.
> >
> > Guten Morgen,
> >
> > Nachdem kommende Woche eine Klausur in
> > Differentialgleichungen ansteht komme ich nicht umhin
> > einige Fragen zu stellen :)
> >
> > Zur Klassifikation genügt es ja den Teil
> >
> > [mm]a_{1}u_{xx} + 2a_{2}u_{xy} + a_{3}u_{yy}[/mm] zu betrachten.
> >
> > Die Diskreminante [mm]\Delta = a_{2}^2 -a_{1}a_{3}[/mm] ist in
> > unserem Fall :
> > [mm]\Delta = (x+y)^2 -4xy = (x-y)^2[/mm] für [mm]x=y[/mm] liegt eine
> > parabolische Gleichung vor und für [mm]x \neq y[/mm] eine
> > hyperbolische.
> >
> > Nun zur Normalform.
> >
> > Ich habe derzeit leider mein Skript nicht zur Hand , aber
> > ich erinnere mich an:
> >
> > wir benötigen Funktionen s und t , welche man aus:
> >
> > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{-a_{2} + \sqrt{\Delta}}{a_{1}[/mm]
> > und [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{-a_{2} - \sqrt{\Delta}}{a_{1}}[/mm]
> > gewinnt.
> >
> > einsetzen liefert:
> >
> > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{x}{2}[/mm] sowie [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
>
> >
> > wenn wir dies nun in [mm]$s_{x}dx[/mm] + [mm]s_{y}dy$[/mm] und [mm]$$t_{x}dx[/mm] +
> > [mm]t_{y}dy$[/mm] einsetzen erhalten wir s(x,y) , t(x,y) ,also:
> >
> > [mm]xdx +2dy = 0[/mm] , die Gl. ist natürlich exakt und somit :
> > [mm]\int xdx = \frac{x^2}{2} + g'(y) \Rightarrow g(y) = \int 2dy = 2y[/mm]
> > , also
> > [mm]s(x,y) = \frac{x^2}{2} +2y[/mm]
> >
> > gleiches für [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}}[/mm] führt uns zu (da die Gl.
> > nicht exakt ist etwas mühsamer)
> > [mm]t(x,y) = \frac{y}{e^{x/2}} - \frac{1}{e^{x/2}}[/mm]
> >
>
>
> Das erfüllt nicht die Bedingung
>
> [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
>
Du hast recht - ich glaube, dass ich mich verrechnet habe. Hier das neue Resultat.
Die Gleichung $ydx + 2dy = 0$ ist nicht exakt.
Ansatz: $M(x)ydx + 2M(x)dy =0$ ,
sei $M(x)y := [mm] a_{x}$ [/mm] und $ 2M(x) = [mm] a_{y}$ [/mm]
So ist [mm] $\frac{\partial a_{x}}{\partial y} [/mm] = M(x)$ und [mm] $\frac{\partial b_{x}}{\partial y} [/mm] = 2M'(x)$
dies liefert nun: [mm] $\frac{M'(x)}{M(x)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \Rightarrow [/mm] ln(M(x)) = [mm] \int \frac{1}{2}dx [/mm] = [mm] \frac{x}{2} \Rightarrow [/mm] M(x) = [mm] e^{x/2} [/mm] $
als neue und exakte DGL erhalten wir
[mm] $e^{x/2}ydx [/mm] + [mm] 2e^{x/2}dy [/mm] = 0$.
wir erhalten $t(x,y) = [mm] 2e^{x/2}y$
[/mm]
So , ich hoffe, dass dies so o.k. ist :)
aber...
Ich bin noch immer weit von der kanonischen Form entfernt ....
>
> > und nun müsste ich das durch eine ,daraus resutierende
> > ,neue Gleichung auf die Form:
> >
> > [mm]A \cdot u_{st} + B_{1} \cdot u_{s} + B_{2} \cdot u_{t} +cu[/mm]
>
> >
> > bringen.
> >
>
> Wenn t(x,y) die obengenannte Bedingung erfüllt,
> dann bringt Dich das auf diese Form.
>
>
> > Ist das bis hierhin mal richtig?
> >
> > Beste Grüße und Dank
> >
> > Thomas
>
>
> Gruss
> MathePower
Gruß Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Hallo MathePower,
>
> > Hallo Thomas_Aut,
> >
> > > Betrachte folgende PDGL
> > >
> > > [mm]4u_{xx} - 2(x+y) \cdot u_{xy} + xy \cdot u_{yy} +x^{2} \cdot u_{x} -y^{2}u = 0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Klassifiziere die Gleichung und gib für den hyperbolischen
> > > Fall die Normalform an.
> > >
> > > Guten Morgen,
> > >
> > > Nachdem kommende Woche eine Klausur in
> > > Differentialgleichungen ansteht komme ich nicht umhin
> > > einige Fragen zu stellen :)
> > >
> > > Zur Klassifikation genügt es ja den Teil
> > >
> > > [mm]a_{1}u_{xx} + 2a_{2}u_{xy} + a_{3}u_{yy}[/mm] zu betrachten.
> > >
> > > Die Diskreminante [mm]\Delta = a_{2}^2 -a_{1}a_{3}[/mm] ist in
> > > unserem Fall :
> > > [mm]\Delta = (x+y)^2 -4xy = (x-y)^2[/mm] für [mm]x=y[/mm] liegt eine
> > > parabolische Gleichung vor und für [mm]x \neq y[/mm] eine
> > > hyperbolische.
> > >
> > > Nun zur Normalform.
> > >
> > > Ich habe derzeit leider mein Skript nicht zur Hand , aber
> > > ich erinnere mich an:
> > >
> > > wir benötigen Funktionen s und t , welche man aus:
> > >
> > > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{-a_{2} + \sqrt{\Delta}}{a_{1}[/mm]
> > > und [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{-a_{2} - \sqrt{\Delta}}{a_{1}}[/mm]
> > > gewinnt.
> > >
> > > einsetzen liefert:
> > >
> > > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{x}{2}[/mm] sowie [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > wenn wir dies nun in [mm]$s_{x}dx[/mm] + [mm]s_{y}dy$[/mm] und [mm]$$t_{x}dx[/mm] +
> > > [mm]t_{y}dy$[/mm] einsetzen erhalten wir s(x,y) , t(x,y) ,also:
> > >
> > > [mm]xdx +2dy = 0[/mm] , die Gl. ist natürlich exakt und somit :
> > > [mm]\int xdx = \frac{x^2}{2} + g'(y) \Rightarrow g(y) = \int 2dy = 2y[/mm]
> > > , also
> > > [mm]s(x,y) = \frac{x^2}{2} +2y[/mm]
> > >
> > > gleiches für [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}}[/mm] führt uns zu (da die Gl.
> > > nicht exakt ist etwas mühsamer)
> > > [mm]t(x,y) = \frac{y}{e^{x/2}} - \frac{1}{e^{x/2}}[/mm]
> > >
> >
> >
> > Das erfüllt nicht die Bedingung
> >
> > [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
> >
> Du hast recht - ich glaube, dass ich mich verrechnet habe.
> Hier das neue Resultat.
>
> Die Gleichung [mm]ydx + 2dy = 0[/mm] ist nicht exakt.
> Ansatz: [mm]M(x)ydx + 2M(x)dy =0[/mm] ,
> sei [mm]M(x)y := a_{x}[/mm] und [mm]2M(x) = a_{y}[/mm]
> So ist [mm]\frac{\partial a_{x}}{\partial y} = M(x)[/mm] und
> [mm]\frac{\partial b_{x}}{\partial y} = 2M'(x)[/mm]
> dies liefert
> nun: [mm]\frac{M'(x)}{M(x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow ln(M(x)) = \int \frac{1}{2}dx = \frac{x}{2} \Rightarrow M(x) = e^{x/2}[/mm]
>
> als neue und exakte DGL erhalten wir
> [mm]e^{x/2}ydx + 2e^{x/2}dy = 0[/mm].
> wir erhalten [mm]t(x,y) = 2e^{x/2}y[/mm]
>
Ja, das ist eine der vielen möglichen Funktionen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So , ich hoffe, dass dies so o.k. ist :)
> aber...
> Ich bin noch immer weit von der kanonischen Form entfernt
> ....
Dann poste, wo hier Dein Problem liegt.
Jetzt hast Du natürlich
[mm]u\left( \ s\left(x,y\right), \ t\left(x,y\right) \ \right)[/mm],
das Du maximal zweimal partiell differenzieren musst.
> >
> > > und nun müsste ich das durch eine ,daraus resutierende
> > > ,neue Gleichung auf die Form:
> > >
> > > [mm]A \cdot u_{st} + B_{1} \cdot u_{s} + B_{2} \cdot u_{t} +cu[/mm]
>
> >
> > >
> > > bringen.
> > >
> >
> > Wenn t(x,y) die obengenannte Bedingung erfüllt,
> > dann bringt Dich das auf diese Form.
> >
> >
> > > Ist das bis hierhin mal richtig?
> > >
> > > Beste Grüße und Dank
> > >
> > > Thomas
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Gruß Thomas
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
> Hallo Thomas_Aut,
>
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> > Hallo MathePower,
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> > > Hallo Thomas_Aut,
> > >
> > > > Betrachte folgende PDGL
> > > >
> > > > [mm]4u_{xx} - 2(x+y) \cdot u_{xy} + xy \cdot u_{yy} +x^{2} \cdot u_{x} -y^{2}u = 0[/mm]
>
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> > > > Klassifiziere die Gleichung und gib für den hyperbolischen
> > > > Fall die Normalform an.
> > > >
> > > > Guten Morgen,
> > > >
> > > > Nachdem kommende Woche eine Klausur in
> > > > Differentialgleichungen ansteht komme ich nicht umhin
> > > > einige Fragen zu stellen :)
> > > >
> > > > Zur Klassifikation genügt es ja den Teil
> > > >
> > > > [mm]a_{1}u_{xx} + 2a_{2}u_{xy} + a_{3}u_{yy}[/mm] zu betrachten.
> > > >
> > > > Die Diskreminante [mm]\Delta = a_{2}^2 -a_{1}a_{3}[/mm] ist in
> > > > unserem Fall :
> > > > [mm]\Delta = (x+y)^2 -4xy = (x-y)^2[/mm] für [mm]x=y[/mm] liegt
> eine
> > > > parabolische Gleichung vor und für [mm]x \neq y[/mm] eine
> > > > hyperbolische.
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> > > > Nun zur Normalform.
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> > > > Ich habe derzeit leider mein Skript nicht zur Hand , aber
> > > > ich erinnere mich an:
> > > >
> > > > wir benötigen Funktionen s und t , welche man aus:
> > > >
> > > > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{-a_{2} + \sqrt{\Delta}}{a_{1}[/mm]
> > > > und [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{-a_{2} - \sqrt{\Delta}}{a_{1}}[/mm]
> > > > gewinnt.
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> > > > einsetzen liefert:
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> > > > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{x}{2}[/mm] sowie [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
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> > > > wenn wir dies nun in [mm]$s_{x}dx[/mm] + [mm]s_{y}dy$[/mm] und [mm]$$t_{x}dx[/mm] +
> > > > [mm]t_{y}dy$[/mm] einsetzen erhalten wir s(x,y) , t(x,y) ,also:
> > > >
> > > > [mm]xdx +2dy = 0[/mm] , die Gl. ist natürlich exakt und somit :
> > > > [mm]\int xdx = \frac{x^2}{2} + g'(y) \Rightarrow g(y) = \int 2dy = 2y[/mm]
> > > > , also
> > > > [mm]s(x,y) = \frac{x^2}{2} +2y[/mm]
> > > >
> > > > gleiches für [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}}[/mm] führt uns zu (da die Gl.
> > > > nicht exakt ist etwas mühsamer)
> > > > [mm]t(x,y) = \frac{y}{e^{x/2}} - \frac{1}{e^{x/2}}[/mm]
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> > > Das erfüllt nicht die Bedingung
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> > > [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
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> > Du hast recht - ich glaube, dass ich mich verrechnet habe.
> > Hier das neue Resultat.
> >
> > Die Gleichung [mm]ydx + 2dy = 0[/mm] ist nicht exakt.
> > Ansatz: [mm]M(x)ydx + 2M(x)dy =0[/mm] ,
> > sei [mm]M(x)y := a_{x}[/mm] und [mm]2M(x) = a_{y}[/mm]
> > So ist [mm]\frac{\partial a_{x}}{\partial y} = M(x)[/mm] und
> > [mm]\frac{\partial b_{x}}{\partial y} = 2M'(x)[/mm]
> > dies
> liefert
> > nun: [mm]\frac{M'(x)}{M(x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow ln(M(x)) = \int \frac{1}{2}dx = \frac{x}{2} \Rightarrow M(x) = e^{x/2}[/mm]
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> >
> > als neue und exakte DGL erhalten wir
> > [mm]e^{x/2}ydx + 2e^{x/2}dy = 0[/mm].
> > wir erhalten [mm]t(x,y) = 2e^{x/2}y[/mm]
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>
> Ja, das ist eine der vielen möglichen Funktionen.
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>
> > So , ich hoffe, dass dies so o.k. ist :)
> > aber...
> > Ich bin noch immer weit von der kanonischen Form entfernt
> > ....
>
>
> Dann poste, wo hier Dein Problem liegt.
>
> Jetzt hast Du natürlich
>
> [mm]u\left( \ s\left(x,y\right), \ t\left(x,y\right) \ \right)[/mm],
>
> das Du maximal zweimal partiell differenzieren musst.
Das wäre dann also etwas in die Richtung:
[mm] $(4s_{x}t_{x} -(x+y)(s_{x}t_{y}+s_{y}t_{x})+xy(s_{y}t_{y}))u_{st} +(4s_{xx}-2(x+y)s_{xy}+xys_{yy})u_{s}+(4t_{xx}-2(x+y)t_{xy}+syt_{yy})u_{t}-y^2u$
[/mm]
>
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> > >
> > > > und nun müsste ich das durch eine ,daraus resutierende
> > > > ,neue Gleichung auf die Form:
> > > >
> > > > [mm]A \cdot u_{st} + B_{1} \cdot u_{s} + B_{2} \cdot u_{t} +cu[/mm]
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> > >
> > > >
> > > > bringen.
> > > >
> > >
> > > Wenn t(x,y) die obengenannte Bedingung erfüllt,
> > > dann bringt Dich das auf diese Form.
> > >
> > >
> > > > Ist das bis hierhin mal richtig?
> > > >
> > > > Beste Grüße und Dank
> > > >
> > > > Thomas
> > >
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> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Gruß Thomas
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>
> Gruss
> MathePower
Gruß Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Hallo MathePower,
> > Hallo Thomas_Aut,
> >
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> > > Hallo MathePower,
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> > > > Hallo Thomas_Aut,
> > > >
> > > > > Betrachte folgende PDGL
> > > > >
> > > > > [mm]4u_{xx} - 2(x+y) \cdot u_{xy} + xy \cdot u_{yy} +x^{2} \cdot u_{x} -y^{2}u = 0[/mm]
>
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> > > >
> > > > >
> > > > > Klassifiziere die Gleichung und gib für den hyperbolischen
> > > > > Fall die Normalform an.
> > > > >
> > > > > Guten Morgen,
> > > > >
> > > > > Nachdem kommende Woche eine Klausur in
> > > > > Differentialgleichungen ansteht komme ich nicht umhin
> > > > > einige Fragen zu stellen :)
> > > > >
> > > > > Zur Klassifikation genügt es ja den Teil
> > > > >
> > > > > [mm]a_{1}u_{xx} + 2a_{2}u_{xy} + a_{3}u_{yy}[/mm] zu betrachten.
> > > > >
> > > > > Die Diskreminante [mm]\Delta = a_{2}^2 -a_{1}a_{3}[/mm] ist in
> > > > > unserem Fall :
> > > > > [mm]\Delta = (x+y)^2 -4xy = (x-y)^2[/mm] für [mm]x=y[/mm] liegt
> > eine
> > > > > parabolische Gleichung vor und für [mm]x \neq y[/mm] eine
> > > > > hyperbolische.
> > > > >
> > > > > Nun zur Normalform.
> > > > >
> > > > > Ich habe derzeit leider mein Skript nicht zur Hand , aber
> > > > > ich erinnere mich an:
> > > > >
> > > > > wir benötigen Funktionen s und t , welche man aus:
> > > > >
> > > > > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{-a_{2} + \sqrt{\Delta}}{a_{1}[/mm]
> > > > > und [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{-a_{2} - \sqrt{\Delta}}{a_{1}}[/mm]
> > > > > gewinnt.
> > > > >
> > > > > einsetzen liefert:
> > > > >
> > > > > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{x}{2}[/mm] sowie [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
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> > > > > wenn wir dies nun in [mm]$s_{x}dx[/mm] + [mm]s_{y}dy$[/mm] und [mm]$$t_{x}dx[/mm] +
> > > > > [mm]t_{y}dy$[/mm] einsetzen erhalten wir s(x,y) , t(x,y) ,also:
> > > > >
> > > > > [mm]xdx +2dy = 0[/mm] , die Gl. ist natürlich exakt und somit :
> > > > > [mm]\int xdx = \frac{x^2}{2} + g'(y) \Rightarrow g(y) = \int 2dy = 2y[/mm]
> > > > > , also
> > > > > [mm]s(x,y) = \frac{x^2}{2} +2y[/mm]
> > > > >
> > > > > gleiches für [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}}[/mm] führt uns zu (da die Gl.
> > > > > nicht exakt ist etwas mühsamer)
> > > > > [mm]t(x,y) = \frac{y}{e^{x/2}} - \frac{1}{e^{x/2}}[/mm]
> >
> > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Das erfüllt nicht die Bedingung
> > > >
> > > > [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
> > > >
> > > Du hast recht - ich glaube, dass ich mich verrechnet habe.
> > > Hier das neue Resultat.
> > >
> > > Die Gleichung [mm]ydx + 2dy = 0[/mm] ist nicht exakt.
> > > Ansatz: [mm]M(x)ydx + 2M(x)dy =0[/mm] ,
> > > sei [mm]M(x)y := a_{x}[/mm] und [mm]2M(x) = a_{y}[/mm]
> > > So ist [mm]\frac{\partial a_{x}}{\partial y} = M(x)[/mm] und
> > > [mm]\frac{\partial b_{x}}{\partial y} = 2M'(x)[/mm]
> > > dies
> > liefert
> > > nun: [mm]\frac{M'(x)}{M(x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow ln(M(x)) = \int \frac{1}{2}dx = \frac{x}{2} \Rightarrow M(x) = e^{x/2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > als neue und exakte DGL erhalten wir
> > > [mm]e^{x/2}ydx + 2e^{x/2}dy = 0[/mm].
> > > wir erhalten [mm]t(x,y) = 2e^{x/2}y[/mm]
> > >
> >
> >
> > Ja, das ist eine der vielen möglichen Funktionen.
> >
> >
> > > So , ich hoffe, dass dies so o.k. ist :)
> > > aber...
> > > Ich bin noch immer weit von der kanonischen Form entfernt
> > > ....
> >
> >
> > Dann poste, wo hier Dein Problem liegt.
> >
> > Jetzt hast Du natürlich
> >
> > [mm]u\left( \ s\left(x,y\right), \ t\left(x,y\right) \ \right)[/mm],
>
> >
> > das Du maximal zweimal partiell differenzieren musst.
>
> Das wäre dann also etwas in die Richtung:
> [mm](4s_{x}t_{x} -(x+y)(s_{x}t_{y}+s_{y}t_{x})+xy(s_{y}t_{y}))u_{st} +(4s_{xx}-2(x+y)s_{xy}+xys_{yy})u_{s}+(4t_{xx}-2(x+y)t_{xy}+syt_{yy})u_{t}-y^2u[/mm]
>
Der Faktor vor [mm]u_{st}[/mm] ist noch mit 2 zu multiplizieren.
Dann stimmt das auch mit den Faktoren
vor [mm]u_{s}[/mm] und [mm]u_{t}[/mm] überein.
> >
> >
> > > >
> > > > > und nun müsste ich das durch eine ,daraus resutierende
> > > > > ,neue Gleichung auf die Form:
> > > > >
> > > > > [mm]A \cdot u_{st} + B_{1} \cdot u_{s} + B_{2} \cdot u_{t} +cu[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > bringen.
> > > > >
> > > >
> > > > Wenn t(x,y) die obengenannte Bedingung erfüllt,
> > > > dann bringt Dich das auf diese Form.
> > > >
> > > >
> > > > > Ist das bis hierhin mal richtig?
> > > > >
> > > > > Beste Grüße und Dank
> > > > >
> > > > > Thomas
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> > > Gruß Thomas
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> Gruß Thomas
>
Gruss
MathePower
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> Hallo Thomas_Aut,
>
> > Hallo MathePower,
> > > Hallo Thomas_Aut,
> > >
> > >
> > > > Hallo MathePower,
> > > >
> > > > > Hallo Thomas_Aut,
> > > > >
> > > > > > Betrachte folgende PDGL
> > > > > >
> > > > > > [mm]4u_{xx} - 2(x+y) \cdot u_{xy} + xy \cdot u_{yy} +x^{2} \cdot u_{x} -y^{2}u = 0[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Klassifiziere die Gleichung und gib für den hyperbolischen
> > > > > > Fall die Normalform an.
> > > > > >
> > > > > > Guten Morgen,
> > > > > >
> > > > > > Nachdem kommende Woche eine Klausur in
> > > > > > Differentialgleichungen ansteht komme ich nicht umhin
> > > > > > einige Fragen zu stellen :)
> > > > > >
> > > > > > Zur Klassifikation genügt es ja den Teil
> > > > > >
> > > > > > [mm]a_{1}u_{xx} + 2a_{2}u_{xy} + a_{3}u_{yy}[/mm] zu betrachten.
> > > > > >
> > > > > > Die Diskreminante [mm]\Delta = a_{2}^2 -a_{1}a_{3}[/mm] ist in
> > > > > > unserem Fall :
> > > > > > [mm]\Delta = (x+y)^2 -4xy = (x-y)^2[/mm] für [mm]x=y[/mm]
> liegt
> > > eine
> > > > > > parabolische Gleichung vor und für [mm]x \neq y[/mm] eine
> > > > > > hyperbolische.
> > > > > >
> > > > > > Nun zur Normalform.
> > > > > >
> > > > > > Ich habe derzeit leider mein Skript nicht zur Hand , aber
> > > > > > ich erinnere mich an:
> > > > > >
> > > > > > wir benötigen Funktionen s und t , welche man aus:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{-a_{2} + \sqrt{\Delta}}{a_{1}[/mm]
> > > > > > und [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{-a_{2} - \sqrt{\Delta}}{a_{1}}[/mm]
> > > > > > gewinnt.
> > > > > >
> > > > > > einsetzen liefert:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{x}{2}[/mm] sowie [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > wenn wir dies nun in [mm]$s_{x}dx[/mm] + [mm]s_{y}dy$[/mm] und [mm]$$t_{x}dx[/mm] +
> > > > > > [mm]t_{y}dy$[/mm] einsetzen erhalten wir s(x,y) , t(x,y) ,also:
> > > > > >
> > > > > > [mm]xdx +2dy = 0[/mm] , die Gl. ist natürlich exakt und somit :
> > > > > > [mm]\int xdx = \frac{x^2}{2} + g'(y) \Rightarrow g(y) = \int 2dy = 2y[/mm]
> > > > > > , also
> > > > > > [mm]s(x,y) = \frac{x^2}{2} +2y[/mm]
> > > > > >
> > > > > > gleiches für [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}}[/mm] führt uns zu (da die Gl.
> > > > > > nicht exakt ist etwas mühsamer)
> > > > > > [mm]t(x,y) = \frac{y}{e^{x/2}} - \frac{1}{e^{x/2}}[/mm]
> >
> >
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Das erfüllt nicht die Bedingung
> > > > >
> > > > > [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
> > > > >
> > > > Du hast recht - ich glaube, dass ich mich verrechnet habe.
> > > > Hier das neue Resultat.
> > > >
> > > > Die Gleichung [mm]ydx + 2dy = 0[/mm] ist nicht exakt.
> > > > Ansatz: [mm]M(x)ydx + 2M(x)dy =0[/mm] ,
> > > > sei [mm]M(x)y := a_{x}[/mm] und [mm]2M(x) = a_{y}[/mm]
> > > > So ist [mm]\frac{\partial a_{x}}{\partial y} = M(x)[/mm] und
> > > > [mm]\frac{\partial b_{x}}{\partial y} = 2M'(x)[/mm]
> > > >
> dies
> > > liefert
> > > > nun: [mm]\frac{M'(x)}{M(x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow ln(M(x)) = \int \frac{1}{2}dx = \frac{x}{2} \Rightarrow M(x) = e^{x/2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > als neue und exakte DGL erhalten wir
> > > > [mm]e^{x/2}ydx + 2e^{x/2}dy = 0[/mm].
> > > > wir erhalten [mm]t(x,y) = 2e^{x/2}y[/mm]
> > > >
> > >
> > >
> > > Ja, das ist eine der vielen möglichen Funktionen.
> > >
> > >
> > > > So , ich hoffe, dass dies so o.k. ist :)
> > > > aber...
> > > > Ich bin noch immer weit von der kanonischen Form entfernt
> > > > ....
> > >
> > >
> > > Dann poste, wo hier Dein Problem liegt.
> > >
> > > Jetzt hast Du natürlich
> > >
> > > [mm]u\left( \ s\left(x,y\right), \ t\left(x,y\right) \ \right)[/mm],
>
> >
> > >
> > > das Du maximal zweimal partiell differenzieren musst.
> >
> > Das wäre dann also etwas in die Richtung:
> > [mm](4s_{x}t_{x} -(x+y)(s_{x}t_{y}+s_{y}t_{x})+xy(s_{y}t_{y}))u_{st} +(4s_{xx}-2(x+y)s_{xy}+xys_{yy})u_{s}+(4t_{xx}-2(x+y)t_{xy}+syt_{yy})u_{t}-y^2u[/mm]
>
> >
>
>
> Der Faktor vor [mm]u_{st}[/mm] ist noch mit 2 zu multiplizieren.
> Dann stimmt das auch mit den Faktoren
> vor [mm]u_{s}[/mm] und [mm]u_{t}[/mm] überein.
Ah okay danke. Gilt das immer? Also immer $ [mm] 2(....)u_{st}$.
[/mm]
Das heißt jetzt einfach einsetzen und dann bin ich bei meiner kanonischen Form angelangt?
Also:
[mm] $2(4xe^{x/}y [/mm] - [mm] (x+y)(2xe^{x/2} [/mm] + .... )$ ? vereinfachen falls möglich und dann hab ich die Normalform ?
An dieser Stelle möchte ich dir für deine Hilfe (in den letzten 2 Tagen) wirklich danken !!
>
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> > >
> > > > >
> > > > > > und nun müsste ich das durch eine ,daraus resutierende
> > > > > > ,neue Gleichung auf die Form:
> > > > > >
> > > > > > [mm]A \cdot u_{st} + B_{1} \cdot u_{s} + B_{2} \cdot u_{t} +cu[/mm]
>
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> > > > > > bringen.
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Wenn t(x,y) die obengenannte Bedingung erfüllt,
> > > > > dann bringt Dich das auf diese Form.
> > > > >
> > > > >
> > > > > > Ist das bis hierhin mal richtig?
> > > > > >
> > > > > > Beste Grüße und Dank
> > > > > >
> > > > > > Thomas
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> > > > > Gruss
> > > > > MathePower
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> > > > Gruß Thomas
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> > > Gruss
> > > MathePower
> > Gruß Thomas
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> Gruss
> MathePower
Gruß
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Hallo Thomas_Aut,
> > Hallo Thomas_Aut,
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> > > Hallo MathePower,
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> > > > > Hallo MathePower,
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> > > > > > Hallo Thomas_Aut,
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> > > > > > > Betrachte folgende PDGL
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]4u_{xx} - 2(x+y) \cdot u_{xy} + xy \cdot u_{yy} +x^{2} \cdot u_{x} -y^{2}u = 0[/mm]
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> > > > > > > Klassifiziere die Gleichung und gib für den hyperbolischen
> > > > > > > Fall die Normalform an.
> > > > > > >
> > > > > > > Guten Morgen,
> > > > > > >
> > > > > > > Nachdem kommende Woche eine Klausur in
> > > > > > > Differentialgleichungen ansteht komme ich nicht umhin
> > > > > > > einige Fragen zu stellen :)
> > > > > > >
> > > > > > > Zur Klassifikation genügt es ja den Teil
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]a_{1}u_{xx} + 2a_{2}u_{xy} + a_{3}u_{yy}[/mm] zu betrachten.
> > > > > > >
> > > > > > > Die Diskreminante [mm]\Delta = a_{2}^2 -a_{1}a_{3}[/mm] ist in
> > > > > > > unserem Fall :
> > > > > > > [mm]\Delta = (x+y)^2 -4xy = (x-y)^2[/mm] für [mm]x=y[/mm]
> > liegt
> > > > eine
> > > > > > > parabolische Gleichung vor und für [mm]x \neq y[/mm] eine
> > > > > > > hyperbolische.
> > > > > > >
> > > > > > > Nun zur Normalform.
> > > > > > >
> > > > > > > Ich habe derzeit leider mein Skript nicht zur Hand , aber
> > > > > > > ich erinnere mich an:
> > > > > > >
> > > > > > > wir benötigen Funktionen s und t , welche man aus:
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{-a_{2} + \sqrt{\Delta}}{a_{1}[/mm]
> > > > > > > und [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{-a_{2} - \sqrt{\Delta}}{a_{1}}[/mm]
> > > > > > > gewinnt.
> > > > > > >
> > > > > > > einsetzen liefert:
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{x}{2}[/mm] sowie [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
>
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> > > > > > > wenn wir dies nun in [mm]$s_{x}dx[/mm] + [mm]s_{y}dy$[/mm] und [mm]$$t_{x}dx[/mm] +
> > > > > > > [mm]t_{y}dy$[/mm] einsetzen erhalten wir s(x,y) , t(x,y) ,also:
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]xdx +2dy = 0[/mm] , die Gl. ist natürlich exakt und somit :
> > > > > > > [mm]\int xdx = \frac{x^2}{2} + g'(y) \Rightarrow g(y) = \int 2dy = 2y[/mm]
> > > > > > > , also
> > > > > > > [mm]s(x,y) = \frac{x^2}{2} +2y[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > gleiches für [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}}[/mm] führt uns zu (da die Gl.
> > > > > > > nicht exakt ist etwas mühsamer)
> > > > > > > [mm]t(x,y) = \frac{y}{e^{x/2}} - \frac{1}{e^{x/2}}[/mm]
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> > > > > > Das erfüllt nicht die Bedingung
> > > > > >
> > > > > > [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
> > > > > >
> > > > > Du hast recht - ich glaube, dass ich mich verrechnet habe.
> > > > > Hier das neue Resultat.
> > > > >
> > > > > Die Gleichung [mm]ydx + 2dy = 0[/mm] ist nicht exakt.
> > > > > Ansatz: [mm]M(x)ydx + 2M(x)dy =0[/mm] ,
> > > > > sei [mm]M(x)y := a_{x}[/mm] und [mm]2M(x) = a_{y}[/mm]
> > > > > So ist [mm]\frac{\partial a_{x}}{\partial y} = M(x)[/mm] und
> > > > > [mm]\frac{\partial b_{x}}{\partial y} = 2M'(x)[/mm]
> > > >
> >
> > dies
> > > > liefert
> > > > > nun: [mm]\frac{M'(x)}{M(x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow ln(M(x)) = \int \frac{1}{2}dx = \frac{x}{2} \Rightarrow M(x) = e^{x/2}[/mm]
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> > > > > als neue und exakte DGL erhalten wir
> > > > > [mm]e^{x/2}ydx + 2e^{x/2}dy = 0[/mm].
> > > > > wir erhalten [mm]t(x,y) = 2e^{x/2}y[/mm]
> > > > >
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> > > > Ja, das ist eine der vielen möglichen Funktionen.
> > > >
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> > > > > So , ich hoffe, dass dies so o.k. ist :)
> > > > > aber...
> > > > > Ich bin noch immer weit von der kanonischen Form entfernt
> > > > > ....
> > > >
> > > >
> > > > Dann poste, wo hier Dein Problem liegt.
> > > >
> > > > Jetzt hast Du natürlich
> > > >
> > > > [mm]u\left( \ s\left(x,y\right), \ t\left(x,y\right) \ \right)[/mm],
>
> >
> > >
> > > >
> > > > das Du maximal zweimal partiell differenzieren musst.
> > >
> > > Das wäre dann also etwas in die Richtung:
> > > [mm](4s_{x}t_{x} -(x+y)(s_{x}t_{y}+s_{y}t_{x})+xy(s_{y}t_{y}))u_{st} +(4s_{xx}-2(x+y)s_{xy}+xys_{yy})u_{s}+(4t_{xx}-2(x+y)t_{xy}+syt_{yy})u_{t}-y^2u[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Der Faktor vor [mm]u_{st}[/mm] ist noch mit 2 zu multiplizieren.
> > Dann stimmt das auch mit den Faktoren
> > vor [mm]u_{s}[/mm] und [mm]u_{t}[/mm] überein.
> Ah okay danke. Gilt das immer? Also immer [mm]2(....)u_{st}[/mm].
> Das heißt jetzt einfach einsetzen und dann bin ich bei
> meiner kanonischen Form angelangt?
Ich habe das auch nachgerechnet,
dabei geht mein [mm]u_{st}[/mm]
durch Multiplikation mit 2 von Deinem [mm]u_{st}[/mm] hervor.
> Also:
> [mm]2(4xe^{x/}y - (x+y)(2xe^{x/2} + .... )[/mm] ? vereinfachen
> falls möglich und dann hab ich die Normalform ?
>
Ja, dann soll das die Normalform sein.
> An dieser Stelle möchte ich dir für deine Hilfe (in den
> letzten 2 Tagen) wirklich danken !!
Ich wünsche Dir viel Erfolg
bei der anstehenden Prüfung.
> >
> >
> > > >
> > > >
> > > > > >
> > > > > > > und nun müsste ich das durch eine ,daraus resutierende
> > > > > > > ,neue Gleichung auf die Form:
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]A \cdot u_{st} + B_{1} \cdot u_{s} + B_{2} \cdot u_{t} +cu[/mm]
>
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> > > > > > > bringen.
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> > > > > > Wenn t(x,y) die obengenannte Bedingung erfüllt,
> > > > > > dann bringt Dich das auf diese Form.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > > Ist das bis hierhin mal richtig?
> > > > > > >
> > > > > > > Beste Grüße und Dank
> > > > > > >
> > > > > > > Thomas
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Gruss
> > > > > > MathePower
> > > > >
> > > > > Gruß Thomas
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> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > > Gruß Thomas
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> > Gruss
> > MathePower
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> Gruß
> Thomas
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Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Fr 07.03.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hallo Thomas_Aut,
>
> > > Hallo Thomas_Aut,
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> > > > Hallo MathePower,
> > > > > Hallo Thomas_Aut,
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> > > > >
> > > > > > Hallo MathePower,
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> > > > > > > Hallo Thomas_Aut,
> > > > > > >
> > > > > > > > Betrachte folgende PDGL
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]4u_{xx} - 2(x+y) \cdot u_{xy} + xy \cdot u_{yy} +x^{2} \cdot u_{x} -y^{2}u = 0[/mm]
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> > > > > > > > Klassifiziere die Gleichung und gib für den hyperbolischen
> > > > > > > > Fall die Normalform an.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Guten Morgen,
> > > > > > > >
> > > > > > > > Nachdem kommende Woche eine Klausur in
> > > > > > > > Differentialgleichungen ansteht komme ich nicht umhin
> > > > > > > > einige Fragen zu stellen :)
> > > > > > > >
> > > > > > > > Zur Klassifikation genügt es ja den Teil
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]a_{1}u_{xx} + 2a_{2}u_{xy} + a_{3}u_{yy}[/mm] zu betrachten.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Die Diskreminante [mm]\Delta = a_{2}^2 -a_{1}a_{3}[/mm] ist in
> > > > > > > > unserem Fall :
> > > > > > > > [mm]\Delta = (x+y)^2 -4xy = (x-y)^2[/mm] für
> [mm]x=y[/mm]
> > > liegt
> > > > > eine
> > > > > > > > parabolische Gleichung vor und für [mm]x \neq y[/mm] eine
> > > > > > > > hyperbolische.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Nun zur Normalform.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Ich habe derzeit leider mein Skript nicht zur Hand , aber
> > > > > > > > ich erinnere mich an:
> > > > > > > >
> > > > > > > > wir benötigen Funktionen s und t , welche man aus:
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{-a_{2} + \sqrt{\Delta}}{a_{1}[/mm]
> > > > > > > > und [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{-a_{2} - \sqrt{\Delta}}{a_{1}}[/mm]
> > > > > > > > gewinnt.
> > > > > > > >
> > > > > > > > einsetzen liefert:
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]\frac{s_{x}}{s_{y}} = \frac{x}{2}[/mm] sowie [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
>
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> > > > > > > > wenn wir dies nun in [mm]$s_{x}dx[/mm] + [mm]s_{y}dy$[/mm] und [mm]$$t_{x}dx[/mm] +
> > > > > > > > [mm]t_{y}dy$[/mm] einsetzen erhalten wir s(x,y) , t(x,y) ,also:
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]xdx +2dy = 0[/mm] , die Gl. ist natürlich exakt und somit :
> > > > > > > > [mm]\int xdx = \frac{x^2}{2} + g'(y) \Rightarrow g(y) = \int 2dy = 2y[/mm]
> > > > > > > > , also
> > > > > > > > [mm]s(x,y) = \frac{x^2}{2} +2y[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > gleiches für [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}}[/mm] führt uns zu (da die Gl.
> > > > > > > > nicht exakt ist etwas mühsamer)
> > > > > > > > [mm]t(x,y) = \frac{y}{e^{x/2}} - \frac{1}{e^{x/2}}[/mm]
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> > > > > > > Das erfüllt nicht die Bedingung
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]\frac{t_{x}}{t_{y}} = \frac{y}{2}[/mm]
> > > > >
> > >
> > > > > > Du hast recht - ich glaube, dass ich mich verrechnet habe.
> > > > > > Hier das neue Resultat.
> > > > > >
> > > > > > Die Gleichung [mm]ydx + 2dy = 0[/mm] ist nicht exakt.
> > > > > > Ansatz: [mm]M(x)ydx + 2M(x)dy =0[/mm] ,
> > > > > > sei [mm]M(x)y := a_{x}[/mm] und [mm]2M(x) = a_{y}[/mm]
> > > > > > So ist [mm]\frac{\partial a_{x}}{\partial y} = M(x)[/mm] und
> > > > > > [mm]\frac{\partial b_{x}}{\partial y} = 2M'(x)[/mm]
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> > > dies
> > > > > liefert
> > > > > > nun: [mm]\frac{M'(x)}{M(x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow ln(M(x)) = \int \frac{1}{2}dx = \frac{x}{2} \Rightarrow M(x) = e^{x/2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > als neue und exakte DGL erhalten wir
> > > > > > [mm]e^{x/2}ydx + 2e^{x/2}dy = 0[/mm].
> > > > > > wir erhalten [mm]t(x,y) = 2e^{x/2}y[/mm]
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Ja, das ist eine der vielen möglichen Funktionen.
> > > > >
> > > > >
> > > > > > So , ich hoffe, dass dies so o.k. ist :)
> > > > > > aber...
> > > > > > Ich bin noch immer weit von der kanonischen Form entfernt
> > > > > > ....
> > > > >
> > > > >
> > > > > Dann poste, wo hier Dein Problem liegt.
> > > > >
> > > > > Jetzt hast Du natürlich
> > > > >
> > > > > [mm]u\left( \ s\left(x,y\right), \ t\left(x,y\right) \ \right)[/mm],
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > das Du maximal zweimal partiell differenzieren musst.
> > > >
> > > > Das wäre dann also etwas in die Richtung:
> > > > [mm](4s_{x}t_{x} -(x+y)(s_{x}t_{y}+s_{y}t_{x})+xy(s_{y}t_{y}))u_{st} +(4s_{xx}-2(x+y)s_{xy}+xys_{yy})u_{s}+(4t_{xx}-2(x+y)t_{xy}+syt_{yy})u_{t}-y^2u[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > >
> > >
> > > Der Faktor vor [mm]u_{st}[/mm] ist noch mit 2 zu multiplizieren.
> > > Dann stimmt das auch mit den Faktoren
> > > vor [mm]u_{s}[/mm] und [mm]u_{t}[/mm] überein.
> > Ah okay danke. Gilt das immer? Also immer
> [mm]2(....)u_{st}[/mm].
> > Das heißt jetzt einfach einsetzen und dann bin ich bei
> > meiner kanonischen Form angelangt?
>
>
> Ich habe das auch nachgerechnet,
> dabei geht mein [mm]u_{st}[/mm]
> durch Multiplikation mit 2 von Deinem [mm]u_{st}[/mm] hervor.
>
>
> > Also:
> > [mm]2(4xe^{x/}y - (x+y)(2xe^{x/2} + .... )[/mm] ? vereinfachen
> > falls möglich und dann hab ich die Normalform ?
> >
>
>
> Ja, dann soll das die Normalform sein.
>
>
> > An dieser Stelle möchte ich dir für deine Hilfe (in den
> > letzten 2 Tagen) wirklich danken !!
>
>
> Ich wünsche Dir viel Erfolg
> bei der anstehenden Prüfung.
Danke- aber vermtulich muss ich übers Wochenende noch die ein oder andere Frage stellen :)
>
>
> > >
> > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > > und nun müsste ich das durch eine ,daraus resutierende
> > > > > > > > ,neue Gleichung auf die Form:
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]A \cdot u_{st} + B_{1} \cdot u_{s} + B_{2} \cdot u_{t} +cu[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > bringen.
> > > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Wenn t(x,y) die obengenannte Bedingung erfüllt,
> > > > > > > dann bringt Dich das auf diese Form.
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > > Ist das bis hierhin mal richtig?
> > > > > > > >
> > > > > > > > Beste Grüße und Dank
> > > > > > > >
> > > > > > > > Thomas
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Gruss
> > > > > > > MathePower
> > > > > >
> > > > > > Gruß Thomas
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruss
> > > > > MathePower
> > > > Gruß Thomas
> > > >
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Gruß
> > Thomas
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Lg Thomas
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