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| Aufgabe | | In A [mm] (R^{2}) [/mm] sei die Quadrik Q : [mm] x^{2} [/mm] + 4xy + [mm] 4y^{2} [/mm] - 5x - y +4 = 0 gegeben. Bringen Sie Q auf affine Normalform und bestimmen Sie den zugehörigen Typ. |
Hallo,
ich habe die komplete Lösung der Aufgabe vorliegen, verstehe die einzelnen Schritte aber leider nicht. Vielleicht könnte mir jemand helfen, wäre echt super.
Lösung:
[mm] x^{2} [/mm] + 4xy + [mm] 4y^{2} [/mm] - 5x - y +4 = 0
[mm] \gdw x^{2} [/mm] + x(4y - 5) + [mm] 4y^{2} [/mm] - y +4 = 0
[mm] \gdw [/mm] (x + [mm] \bruch{4y - 5}{2})^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{4y - 5}{2})^{2} [/mm] + [mm] 4y^{2} [/mm] - y +4 = 0
[mm] \gdw [/mm] (x + 2y - [mm] \bruch{5}{2})^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{4y - 5}{2})^{2} [/mm] + [mm] 4y^{2} [/mm] - y +4 = 0
[mm] \gdw [/mm] (x + 2y - [mm] \bruch{5}{2})^{2} [/mm] - [mm] (4y^{2} [/mm] - 10y + [mm] \bruch{25}{4}) [/mm] + [mm] 4y^{2} [/mm] - y + 4 = 0
[mm] \gdw [/mm] (x + 2y - [mm] \bruch{5}{2})^{2} [/mm] + 9y - [mm] \bruch{9}{4} [/mm] = 0
Ab da (ablesen) ist es klar!!
Verstehe vorallem den 2 Schritt nicht!! [mm] \gdw [/mm] (x + [mm] \bruch{4y - 5}{2}^{2} [/mm] - [mm] \bruch{4y - 5}{2}^{2} [/mm] + [mm] 4y^{2} [/mm] - y +4 = 0
Wäre echt klasse wenn mir möglichst schnell jemand antworten könnte.
mfg
mathenully
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Sa 25.07.2009 | | Autor: | elmer |
Na!
Ich glaube der zweite schritt ist eine quadratische ergänzung nach x. Bin aber etwas unsicher. aber fast sicher das es sowas ist.
gruß
elmer
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Hallo,
vielen dank erstmal für die schnelle antwort. das hilft mir jetzt leider auch nicht wirklich weiter.
wäre schön, wenn mir jemand die lösung schritt für schritt erklären könnte.
vielen dank schonmal
viele grüße
mathenully
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Sa 25.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
elmar hat ganz recht, nichts als quadratische Ergaenzung.
Du willst auf ne form [mm] (x-a)^2 [/mm] hin zielen.
Du hast [mm] x^2-A*x [/mm] (mit A= 4y-5)
wenn du [mm] x^2-2*p+p^2 [/mm] haettest, koenntest du es zu [mm] (x-p)^2 [/mm] umformen. [mm] p^2 [/mm] fehlt dir, also schreibst dus dazu:
[mm] x^2-2*A/2*x=x^2-2*A/2*x+(A/2)^2-(A/2)^2=(x-A/2)^2-(A/2)^2
[/mm]
A einsetzen kannst du wohl selbst und die restlichen Terme wieder hinschreiben.
Ich denk eher, das Ablesen sollte schwierig sein. Was genau liest du ab?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Sa 25.07.2009 | | Autor: | elmer |
Hallo!
Ich will es gerne versuchen, zweifle aber immer an mir selber und bin langsam
im tippen. Keine Ahnung was ne quadrik ist aber du hast eine qudratische gleichung und zwar abhängig von x und y.
Das kann man mit hilfe einer qudratischen ergänzung ![[]](/images/popup.gif) Link-Text vereinfachen. Das geschieht im zweiten schritt soweit ich sehe. Dann wird noch einmal einfach umgeformt.
Beim vierten Schritt steh ich momentan aufm schlauch. Hoffe Du siehst aber
jetzt den zweiten schritt besser.
gruß
elmar
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