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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:42 So 20.01.2013 | | Autor: | ralfr |
Hallo, ich habe eine Kurvengleichung gegeben durch
[mm] $x^2+y^2+xy-6x+10=0$
[/mm]
[mm] $x^tAx+2a^tx+a_0=0$
[/mm]
[mm] $A=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }$
[/mm]
[mm] $a^t=\vektor{-3 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $a_0=30$
[/mm]
Eigenwerte:
[mm] $\lambda_1=0$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=2$
[/mm]
Eigenvektoren
[mm] $\vektor{-1 \\ 1}$
[/mm]
[mm] $\vektor{1 \\ 1}$
[/mm]
dann ist [mm] $S=\frac{1}{\wurzel{2}}\pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }$
[/mm]
Also:
[mm] $0x^2+2y^2+2b^ty+a_0=0$
[/mm]
[mm] $b^t=a^tS$
[/mm]
[mm] $=\vektor{-3 \\ 0}*\frac{1}{\wurzel{2}}\pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }=\frac{1}{\wurzel{2}} \vektor{3 \\ -3}$
[/mm]
bleibt der lineare [mm] $y_1$ [/mm] Term : [mm] $\frac{3}{\wurzel{2}}y_1$ [/mm] einfach so bestehen? Oder muss ich den noch mit 2 multiplizieren? also [mm] $\frac{6}{\wurzel{2}}y_1$ [/mm] ?
quadratische Ergänzung liefert
[mm] $2y_2^2-2*\frac{3}{\wurzel{2}}y_2=2(y_2-\frac{3}{2\wurzel{2}})^2-\frac{18}{8}$
[/mm]
Also ist die Normalform:
[mm] $2z_2^2+ \frac{3}{\wurzel{2}}z_1 +10-\frac{18}{8}=0$
[/mm]
[mm] $2z_2^2+ \frac{3}{\wurzel{2}}z_1 +\frac{62}{8}=0$
[/mm]
wolframalpha gibt irgendwie etwas anderes aus. Wo liegt mein Fehler? es is laut wolframalpha.com ein parabolischer Zylinder. Aber in der Aufgabe steht ich soll die Normalform der Kurve bestimmen?
Also in meinen augen ist das eine Parabel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 22.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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