Normalformen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 So 25.05.2008 | | Autor: | Wurzel2 |
| Aufgabe | Wenn möglich diagonalisiere bzw. Jordanisiere
3 2 -1
2 6 -2
0 0 2 |
Zuerst habe ich versucht die Matrix in Diagonalform zu bringen, um zu prüfen, ob sie überhaupt diagonalisierbar ist. Mein Ergebnis ist ja.
Jetzt habe ich sie diagonalisiert, sprich das char. Polynom, die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu den entsprechenden Eigenwerte berechnet. Somit bin ich doch nun fertig mit der Matrix. Meine Frage ist nun, was ist Jordanisieren? Und wann wende ich dieses Verfahren an? Vielleicht, wenn eine Martix nicht diagonalisierbar ist?
Vielleicht kann mir jemand an einem Beispiel das Jaodanisieren erklären.
|
|
| |
|
Hallo [mm] \sqrt{2},
[/mm]
> Wenn möglich diagonalisiere bzw. Jordanisiere
> 3 2 -1
> 2 6 -2
> 0 0 2
> Zuerst habe ich versucht die Matrix in Diagonalform zu
> bringen, um zu prüfen, ob sie überhaupt diagonalisierbar
> ist. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wie prüfst du denn Diagonalisierbarkeit anhand der Zeilenstufenform?
Das ist mir neu, soweit mir bekannt, ist eine Matrix diagonalisierbar, wenn für jeden ihrer Eigenwerte die algebraische Vielfachheit, also die Multiplizität als NST im charakter. Polynom und die geometrische Vielfachheit, also die Dimension des Eigenraumes zu dem entsprechenden Eigenwert gleich groß sind
> Mein Ergebnis ist ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das stimmt, ergibt sich aber aus dem oben gesagten und deinem anderen post von vor ein paar Minuten, wo du den Kern da berechnet hast - das war genau der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda=2$
[/mm]
Der tritt als NST im charakt. Polynom [mm] $cp(\lambda)=-(\lambda-2)\red{^2}\cdot{}(\lambda-7)$ [/mm] in der Vielfachheit [mm] \red{2} [/mm] auf, die Dimension des Eigenraumes zu [mm] $\lambda=2$ [/mm] ist auch 2.
Damit ist die Matrix diagonalisierbar...
> Jetzt habe ich sie diagonalisiert, sprich das char.
> Polynom, die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu den
> entsprechenden Eigenwerte berechnet. Somit bin ich doch nun
> fertig mit der Matrix.
Hast du auch die transformierende Matrix berechnet oder solltest du das?
Falls ja, schreibe die doch mal auf..
> Meine Frage ist nun, was ist
> Jordanisieren? Und wann wende ich dieses Verfahren an?
> Vielleicht, wenn eine Martix nicht diagonalisierbar ist?
ganz genau, man bekommt dann keine "reine" Diagonalmatrix mehr, sondern eine Jordanmatrix
> Vielleicht kann mir jemand an einem Beispiel das
> Jaodanisieren erklären.
Oh, da gibt's unzählige hier im Forum, nutze mal die Suchfunktion.
![[]](/images/popup.gif) Hier noch ein gern genutzter Link zu einem "Kochrezept", um die JNF einer Matrix zu berechnen
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 So 25.05.2008 | | Autor: | Wurzel2 |
Ok soweit ist jetzt alles klar. Aber doch noch mal kurz zum Verständnis. Um zu Prüfen , ob eine Matrix diagonalisierbar ist, kann ich doch mit Gauß die Matrix so lange bearbeiten, bis in meiner Matrix nur noch Diagonaleinträge vorhanden sind und alle anderen Plätze mit Nullen ausgefüllt sind. Ist das möglich, dann ist meine Matrix auch diagonalisierbar. Ist meine Annahme so richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo [mm] \sqrt{2},
[/mm]
das stimmt so nicht, mit dem Gaußalgo kannst du so wie du es beschrieben hast zeigen, dass die Matrix invertierbar ist.
Aber Invertierbarkeit impliziert keineswegs Diagonalisierbarkeit.
Schaue dir mal diese Matrix an [mm] $A=\pmat{3&1\\-1&1}$
[/mm]
Die ist invertierbar (mit Gauß oder [mm] Det(A)\neq [/mm] 0). Aber versuche sie mal zu diagonalisieren (char. Polynom, Eigenwerte, Eigenräume ...)
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 25.05.2008 | | Autor: | Wurzel2 |
Habe ich
Polynom: [mm] x^2-4x+4
[/mm]
Eigenwerte:2,2
Eigenvektoren:(-1,1) (-1,1)
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Habe ich
> Polynom: [mm]x^2-4x+4[/mm]
> Eigenwerte:2,2
> Eigenvektoren:(-1,1) (-1,1)
Ja, damit ist die algebraische Vielfachheit zum Eigenwert 2 gleich 2, da 2 als doppelte NST im char. Polynom auftaucht: [mm] $cp(\lambda)=(\lambda-2)\red{^2}$ [/mm]
Aber die geometrische Vielfachheit, also die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert 2 ist [mm] \red{1} [/mm] - der Eigenraum wird von [mm] $\vektor{-1\\1}$ [/mm] aufgespannt, ist also eindimensional.
Wegen [mm] \red{2}\neq \red{1} [/mm] ist die Matrix nicht diagonalisierbar
LG
schachuzipus
|
|
|
|
