Normalteiler < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Sonne16 |
Und für welche Primzahlen p gilt: Falls H eine Untergruppe in G mit [G:H]=p ist, so ist H normal in G.
Also habe mir dazu überlegt, dass ja zunächst für normal gilt, dass aH=Ha für alle a element G gelten muss. Das ist ja die Bedingung für normal. Das Hes eine Untergruppe ist, dass braucht man nicht mehr belegen oder bzw die Definiton dafür angeben,oder?Das ist doch eine Annahme, die ich ohne größere Bedingungen anzugeben, annehmen darf?!
Ich habe mir überlegt, dass für p=2 dies gelten müsste. Denn für jedes x aus G gilt dann x quadrat in H liegt. Es müssten nur 2 Linksklassen existieren, aber keine Ahnung, wie die aussehen. Wie ich jetzt weiterkomme, weiß ich auch nicht und ob es nur für p=2 gilt oder auch für weitere Primzahlen???
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Sonne16 |
Danke für den Hinweis.
Leider kann ich mit der Antwort nicht viel weiter anfangen. Den Ansatz verstehe ich halt teilweise, aber hatte mich ja auf diesen Lösungsansatz bezogen und Fragen formuliert....daher auch mein neuer Eintrag(nachdem ich den Link gelesen habe).
Wenn mir also jemand beantworten könnte, was für Linksteiler man bei p=2 genau hat und was man mit der letzten Gleichung die in der Lösung steht, anfangen muss. Also klar, sie geht aus der Normalitätsbedingung hervor,aber ich weiß halt nicht, was man bzw wie man weiter zeigen muss.
Bin weiterhin für jede Antwort dankbar
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo monebahr,
Ich weiss ehrlich nicht, was ich noch schreiben soll, ausser dasselbe nochmal. Da steht 95% der Lösung!
Ist H vom Index 2 (d.h. [G:H]=2) gibt es nur 2 Linksnebenklassen.
Wir nehmen ein beliebiges x aus G und zeigen, dass [mm] x^2 [/mm] bereits in H liegt. Für $x [mm] \in [/mm] H$ ist das wegen der Abgeschlossenheit der Untergruppe H klar. Ist x kein Element von H, so ist xH ungleich der Linksnebenklasse H (sonst wäre x nämlich in H) und auch [mm] $x^{-1}H$ [/mm] ist ungleich H. Da es nur 2 Linksnebenklassen gibt, folgt daraus ........................, und deshalb liegt [mm] x^2 [/mm] in ..........
Um zu zeigen, dass H normal in G ist, müssen wir zeigen, dass für alle $h [mm] \in [/mm] H$, $g [mm] \in [/mm] G$ gilt, dass [mm] $ghg^{-1} \in [/mm] H$ ist.
Schreiben wir [mm] $ghg^{-1} [/mm] = [mm] gh(gh)(gh)^{-1}g^{-1} [/mm] = [mm] (gh)^2h^{-1}(g^{-1})^2$, [/mm] wissen wir nach dem eben Gezeigten, dass
(gh) ^2 in .......... liegt und auch ............................, deshalb auch ...............
Mehr kann ich dir jetzt nicht mehr erklären ohne eine Musterlösung herauszuposaunen.
Das mit der Diedergruppe der Ordnung 2p kriegst du hoffentlich alleine hin. Die sollte sogar anschaulich genug sein, um gleich zu sehen, welches Gegenbeispiel du nehmen kannst. Wenn nicht schreib nochmal.
Lieben Gruss,
Irrlicht
|
|
|
|
