Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] G_1 [/mm] --> [mm] G_2 [/mm] Gr.homomorphismus. zeige:
a) Wenn N Normalteiler in [mm] G_2 [/mm] ist, so ist [mm] f^{-1}(N) [/mm] Normalteiler in [mm] G_1.
[/mm]
b) Wenn f auch noch surjektiv und N ein Normalteiler in [mm] G_1 [/mm] ist, dann ist f(N) Normalteiler in [mm] G_2.
[/mm]
c) Auf die Voraussezung ,,surjektiv“ in b) kann nicht verzichtet werden. |
Bräuchte Hilfe bei obiger Aufgabe, hab nicht wirklich einen Ansatz...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Mi 14.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f: [mm]G_1[/mm] --> [mm]G_2[/mm] Gr.homomorphismus. zeige:
> a) Wenn N Normalteiler in [mm]G_2[/mm] ist, so ist [mm]f^{-1}(N)[/mm]
> Normalteiler in [mm]G_1.[/mm]
> b) Wenn f auch noch surjektiv und N ein Normalteiler in
> [mm]G_1[/mm] ist, dann ist f(N) Normalteiler in [mm]G_2.[/mm]
> c) Auf die Voraussezung ,,surjektiv“ in b) kann nicht
> verzichtet werden.
> Bräuchte Hilfe bei obiger Aufgabe, hab nicht wirklich
> einen Ansatz...
Schreib mal auf, was es bedeutet, dass N Normalteiler von [mm] G_2 [/mm] ist.
Welche Menge ist $ [mm] f^{-1}(N) [/mm] $ ? Schreib das auch mal auf.
Dann sehen wir weiter.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
Sei also f: [mm] G_1 [/mm] --> [mm] G_2 [/mm] GHM mit der Verknüpfung *.
a) z.z.: N ist NT in [mm] G_2 [/mm] --> [mm] f^{-1}(N) [/mm] ist NT in [mm] G_1.
[/mm]
N ist NT in [mm] G_2 [/mm] --> [mm] \forall g_2 \in G_2 \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N: [mm] g_2 [/mm] n [mm] g_2^{-1} \in [/mm] N.
[mm] f^{-1}(N) [/mm] = {x [mm] \in G_1 [/mm] | f(x)=y [mm] \in [/mm] N}
z.z.: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in f^{-1}(N_1) \forall g_1 \in G_1: g_1 [/mm] x [mm] g^{-1} \in f^{-1}(N).
[/mm]
--> [mm] f(g_1 [/mm] * x * [mm] g_1{^-1}) [/mm] = [mm] f(g_1) [/mm] * f(x) * [mm] f(g_1)^{-1} [/mm] und f(x) [mm] \in G_2, [/mm] also ist [mm] f(g_1) [/mm] * f(x) * [mm] f(g_1)^{-1} [/mm] Element des NTs in [mm] G_2.
[/mm]
--> [mm] g_1xg_1^{-1} [/mm] ist Element von [mm] f^{-1}(N).
[/mm]
--> Da x und [mm] g_1xg_1^{-1} [/mm] Elemente von [mm] f^{-1}(N) [/mm] sind, ist [mm] f^{-1}(N) [/mm] NT in [mm] G_1.
[/mm]
Was sagt ihr dazu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 16.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Trikolon,
> Sei also f: [mm]G_1[/mm] --> [mm]G_2[/mm] GHM mit der Verknüpfung *.
>
> a) z.z.: N ist NT in [mm]G_2[/mm] --> [mm]f^{-1}(N)[/mm] ist NT in [mm]G_1.[/mm]
>
>
> N ist NT in [mm]G_2[/mm] --> [mm]\forall g_2 \in G_2 \forall[/mm] n [mm]\in[/mm] N:
> [mm]g_2[/mm] n [mm]g_2^{-1} \in[/mm] N.
>
> [mm]f^{-1}(N)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$x [mm]\in G_1[/mm] | f(x)=y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N$\}$
>
> z.z.: [mm]\forall[/mm] x [mm]\in f^{-1}(N_1) \forall g_1 \in G_1: g_1[/mm] x
> [mm]g^{-1} \in f^{-1}(N).[/mm]
>
> --> [mm]f(g_1[/mm] * x * [mm]g_1{^-1})[/mm] = [mm]f(g_1)[/mm] * f(x) * [mm]f(g_1)^{-1}[/mm] und
> f(x) [mm]\in G_2,[/mm] also ist [mm]f(g_1)[/mm] * f(x) * [mm]f(g_1)^{-1}[/mm] Element
> des NTs in [mm]G_2.[/mm]
>
> --> [mm]g_1xg_1^{-1}[/mm] ist Element von [mm]f^{-1}(N).[/mm]
>
> --> Da x und [mm]g_1xg_1^{-1}[/mm] Elemente von [mm]f^{-1}(N)[/mm] sind, ist
> [mm]f^{-1}(N)[/mm] NT in [mm]G_1.[/mm]
>
> Was sagt ihr dazu?
Alles bestens! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
ok, zu b)
f surjektiv, d.h. [mm] f(G_1)=G_2. [/mm] und N NT in [mm] G_1, [/mm] d.h. [mm] g_1ng_1^{-1} \in [/mm] N für alle n [mm] \in [/mm] N und [mm] g_1 \in G_1.
[/mm]
z.z.: f(N)={f(x)| x [mm] \in [/mm] N} ist NT in [mm] G_2, [/mm] d.h.: Für y [mm] \in [/mm] f(N) gilt: [mm] g_2yg_2^{-1} \in [/mm] f(N).
--> [mm] f(g_1ng_1^{-1})= f(g_1)*f(n)*f(g_1)^{-1} [/mm] = [mm] g_2yg_2^{-1} [/mm] (mit [mm] f(g_1)=g_2 [/mm] da surjektiv) und das ist Element von f(N).
--> Also ist f(N) NT in [mm] G_2.
[/mm]
zu c) fällt mir noch kein Gegenbeispiel ein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Fr 16.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> ok, zu b)
>
> f surjektiv, d.h. [mm]f(G_1)=G_2.[/mm] und N NT in [mm]G_1,[/mm] d.h.
> [mm]g_1ng_1^{-1} \in[/mm] N für alle n [mm]\in[/mm] N und [mm]g_1 \in G_1.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> z.z.: f(N)=$\{$f(x)| x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N$\}$ ist NT in [mm]G_2,[/mm] d.h.: Für y [mm]\in[/mm]
> f(N) gilt: [mm]g_2yg_2^{-1} \in[/mm] f(N).
für alle [mm] $g_2\in G_2$.
[/mm]
Sei also [mm] $g_2\in G_2$. [/mm] Da f surjektiv ist, existiert ein [mm] $g_1\in G_1$ [/mm] mit [mm] $f(g_1)=g_2$.
[/mm]
>
> --> [mm]f(g_1ng_1^{-1})= f(g_1)*f(n)*f(g_1)^{-1}[/mm] = [mm]g_2yg_2^{-1}[/mm]
> (mit [mm]f(g_1)=g_2[/mm] da surjektiv) und das ist Element von f(N).
>
> --> Also ist f(N) NT in [mm]G_2.[/mm]
> zu c) fällt mir noch kein Gegenbeispiel ein...
Was kennst du denn für eine Gruppe [mm] $G_2$, [/mm] die eine Untergruppe [mm] $G_1$ [/mm] hat, die kein Normalteiler ist? Dann kannst du f als die kanonische Inklusionsabbildung [mm] $G_1\to G_2$ [/mm] wählen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
z.B. [mm] G_2 [/mm] = [mm] S_3 [/mm] und [mm] G_1 [/mm] = {id, (12)}. Dann also f: [mm] S_3 [/mm] --> {id, (12)} oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> z.B. [mm]G_2[/mm] = [mm]S_3[/mm] und [mm]G_1[/mm] = [mm] $\{$id, (12)$\}$.
[/mm]
> Dann also f: [mm]S_3[/mm] -->
> {id, (12)} oder wie?
Nein, umgekehrt: [mm] $f\colon\{id,(12)\}\to S_3$, $f(\sigma):=\sigma$ [/mm] für alle [mm] $\sigma\in\{id,(12)\}$.
[/mm]
Dann ist [mm] $N_1:=G_1$ [/mm] Normalteiler von [mm] $G_1$, [/mm] aber [mm] $f(N_1)=G_1$ [/mm] kein Normalteiler von [mm] $G_2$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
Ok, vielen Dank!
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