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Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:34 Di 26.11.2013
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Verallgemeinern Sie Aufgabe 2.2 wie folgt: Jede Untergruppe H vom Index n in G enthält einen Normalteiler vom Index höchstens n! in G.


Hinweis zur Aufgabe: Wenden Sie Lemma 3.2 auf die Operation aus Aufgabe 4.1 an.

Aufgabe 2.2 war: Beweisen Sie: jede Untergruppe H vom Index 2 einer Gruppe G ist Normalteiler.

Operation aus Aufgabe 4.1: Linksmultiplikation von G auf G/H mit G Gruppe und H [mm] \subset [/mm] G Untergruppe.

Lemma 3.2: Die Angabe einer Operation von G auf M ist äquivalent zur Angabe eines Gruppenhomomorphismus G [mm] \to [/mm] S(M).

Hallo!
Mir geht es gerade um das Verständnis der Aufgabe.

Wir sollen also zeigen, dass wenn wir eine Untergruppe H mit Index n in G haben enthält diese einen Normalteiler N,der höchstens den Index n! in G hat.

Wenn man dies auseinander bröselt:
"Untergruppe H mit Index n in G": Index [G:H]=n ist die Anzahl der Linksnebenklassen, also die Mächtigkeit der Menge G/H
"enthält einen Normalteiler": Ein Normalteiler N ist eine Untergruppe. Aber hier ist es doch nicht H, oder? Sonst würde ja da stehen "ist ein Normalteiler". Also müsste N eine Untergruppe von H sein, oder?
Dann würde "vom Index höchstens n! in G" bedeuten: [G:N] [mm] \le [/mm] n! mit N NT von H, also es gilt hN=Nh [mm] \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] H
Stimmt das?

Dann zum Hinweis:
Die Operation "Linksmultiplikation von G auf G/H" sieht doch so aus:
G x G/H [mm] \to [/mm] G/H
(g,m) [mm] \mapsto [/mm] gm
oder?
Diese kann ich laut Lemma 3.2 als Gruppenhomomorphismus (GHM) G [mm] \to [/mm] S(G/H) darstellen.
Dabei ist S(G/H) die Menge der Permutationen von G/H.
Wie sieht denn dann die Abbildung aus?
Was wird also aus einem g [mm] \in [/mm] G? Vorher wird es einfach an eine Linksnebenklasse von H von links dran multipliziert. Das müsste ja auch so bleiben, aber nun haben wir links nicht mehr G x G/H sondern nur G stehen.
Das verwirrt mich! :-/

Kann hier mal jemand drüber schauen, mich verbessern und mir auf die Sprünge helfen?
Das wäre super!
Grüßle, Lily

        
Bezug
Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 Di 26.11.2013
Autor: hippias


> Verallgemeinern Sie Aufgabe 2.2 wie folgt: Jede Untergruppe
> H vom Index n in G enthält einen Normalteiler vom Index
> höchstens n! in G.
>  
>
> Hinweis zur Aufgabe: Wenden Sie Lemma 3.2 auf die Operation
> aus Aufgabe 4.1 an.
>  
> Aufgabe 2.2 war: Beweisen Sie: jede Untergruppe H vom Index
> 2 einer Gruppe G ist Normalteiler.
>  
> Operation aus Aufgabe 4.1: Linksmultiplikation von G auf
> G/H mit G Gruppe und H [mm]\subset[/mm] G Untergruppe.
>  
> Lemma 3.2: Die Angabe einer Operation von G auf M ist
> äquivalent zur Angabe eines Gruppenhomomorphismus G [mm]\to[/mm]
> S(M).
>  Hallo!
>  Mir geht es gerade um das Verständnis der Aufgabe.
>  
> Wir sollen also zeigen, dass wenn wir eine Untergruppe H
> mit Index n in G haben enthält diese einen Normalteiler
> N,der höchstens den Index n! in G hat.
>  
> Wenn man dies auseinander bröselt:
>  "Untergruppe H mit Index n in G": Index [G:H]=n ist die
> Anzahl der Linksnebenklassen, also die Mächtigkeit der
> Menge G/H
>  "enthält einen Normalteiler": Ein Normalteiler N ist eine
> Untergruppe. Aber hier ist es doch nicht H, oder?

Kann sein, muss aber nicht.

> Sonst
> würde ja da stehen "ist ein Normalteiler". Also müsste N
> eine Untergruppe von H sein, oder?

Ja.

> Dann würde "vom Index höchstens n! in G" bedeuten: [G:N]
> [mm]\le[/mm] n! mit N NT von H, also es gilt hN=Nh [mm]\forall[/mm] h [mm]\in[/mm] H
>  Stimmt das?

Ja. Das $N$ ist sogar, auch wenn aus Deiner Aufgabenstellung nicht hervorgeht, normal in $G$.

>  
> Dann zum Hinweis:
>  Die Operation "Linksmultiplikation von G auf G/H" sieht
> doch so aus:
>  G x G/H [mm]\to[/mm] G/H
>  (g,m) [mm]\mapsto[/mm] gm
>  oder?

Ja.

>  Diese kann ich laut Lemma 3.2 als Gruppenhomomorphismus
> (GHM) G [mm]\to[/mm] S(G/H) darstellen.
>  Dabei ist S(G/H) die Menge der Permutationen von G/H.
>  Wie sieht denn dann die Abbildung aus?

[mm] $G\ni g\mapsto (G/H\ni m\mapsto gm)\in [/mm] S(G/H)$ ;-)

>  Was wird also aus einem g [mm]\in[/mm] G?

Aus dem Gruppenelement $g$ wird eine Permutation von $G/H$.

> Vorher wird es einfach an
> eine Linksnebenklasse von H von links dran multipliziert.
> Das müsste ja auch so bleiben, aber nun haben wir links
> nicht mehr G x G/H sondern nur G stehen.
>  Das verwirrt mich! :-/
>  
> Kann hier mal jemand drüber schauen, mich verbessern und
> mir auf die Sprünge helfen?

Im Zusammenhang mit Gruppenoperationen gibt es immer einen besonderen Normalteiler, naemlich den Kern der Operation. Dies ist der Kern des obigen Homomorphismuses [mm] $G\to [/mm] S(G/H)$. Dieser Normalteiler sollte alle Deine Wuensche erfuellen.

>  Das wäre super!
>  Grüßle, Lily


Bezug
                
Bezug
Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Do 28.11.2013
Autor: Mathe-Lily


>  Im Zusammenhang mit Gruppenoperationen gibt es immer einen
> besonderen Normalteiler, naemlich den Kern der Operation.
> Dies ist der Kern des obigen Homomorphismuses [mm]G\to S(G/H)[/mm].
> Dieser Normalteiler sollte alle Deine Wuensche erfuellen.

Danke erstmal für deine Hilfe! :-)

Das mit dem Kern klingt logisch, aber auch nach einigem hin und her drehen komme ich einfach nicht drauf, warum der Index vom Kern in G, also [G:ker] höchstens n! sein kann :-/

folgende Ansätze habe ich schon probiert:
- wir wissen, dass |S(G/H)|=n!, da |G/H|=n und [mm] |S_{n}|=n! [/mm]
- Umstellung der Gleichung [mm] [G:N]\le [/mm] n!

aber irgendwie kam ich noch auf nichts handfestes!
Kannst du (oder sonst jemand) mir nochmal helfen?
Grüßle, Lily


Bezug
                        
Bezug
Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:45 Fr 29.11.2013
Autor: hippias

Wo lebt denn [mm] $Bild(\phi)$? [/mm] Was hat das Bild ordnungsmaessig mit der Faktorgruppe zu tun?

Du hast alles was Du brauchst schon hingeschrieben; Du brauchst es nur noch in die richtige Reihenfolge zu bringen...

Bezug
                                
Bezug
Normalteiler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:47 Fr 29.11.2013
Autor: Mathe-Lily

achsooo!! Danke vielmals!!! :-)

Bezug
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