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| Aufgabe | Verallgemeinern Sie Aufgabe 2.2 wie folgt: Jede Untergruppe H vom Index n in G enthält einen Normalteiler vom Index höchstens n! in G.
Hinweis zur Aufgabe: Wenden Sie Lemma 3.2 auf die Operation aus Aufgabe 4.1 an.
Aufgabe 2.2 war: Beweisen Sie: jede Untergruppe H vom Index 2 einer Gruppe G ist Normalteiler.
Operation aus Aufgabe 4.1: Linksmultiplikation von G auf G/H mit G Gruppe und H [mm] \subset [/mm] G Untergruppe.
Lemma 3.2: Die Angabe einer Operation von G auf M ist äquivalent zur Angabe eines Gruppenhomomorphismus G [mm] \to [/mm] S(M). |
Hallo!
Mir geht es gerade um das Verständnis der Aufgabe.
Wir sollen also zeigen, dass wenn wir eine Untergruppe H mit Index n in G haben enthält diese einen Normalteiler N,der höchstens den Index n! in G hat.
Wenn man dies auseinander bröselt:
"Untergruppe H mit Index n in G": Index [G:H]=n ist die Anzahl der Linksnebenklassen, also die Mächtigkeit der Menge G/H
"enthält einen Normalteiler": Ein Normalteiler N ist eine Untergruppe. Aber hier ist es doch nicht H, oder? Sonst würde ja da stehen "ist ein Normalteiler". Also müsste N eine Untergruppe von H sein, oder?
Dann würde "vom Index höchstens n! in G" bedeuten: [G:N] [mm] \le [/mm] n! mit N NT von H, also es gilt hN=Nh [mm] \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] H
Stimmt das?
Dann zum Hinweis:
Die Operation "Linksmultiplikation von G auf G/H" sieht doch so aus:
G x G/H [mm] \to [/mm] G/H
(g,m) [mm] \mapsto [/mm] gm
oder?
Diese kann ich laut Lemma 3.2 als Gruppenhomomorphismus (GHM) G [mm] \to [/mm] S(G/H) darstellen.
Dabei ist S(G/H) die Menge der Permutationen von G/H.
Wie sieht denn dann die Abbildung aus?
Was wird also aus einem g [mm] \in [/mm] G? Vorher wird es einfach an eine Linksnebenklasse von H von links dran multipliziert. Das müsste ja auch so bleiben, aber nun haben wir links nicht mehr G x G/H sondern nur G stehen.
Das verwirrt mich! :-/
Kann hier mal jemand drüber schauen, mich verbessern und mir auf die Sprünge helfen?
Das wäre super!
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Di 26.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Verallgemeinern Sie Aufgabe 2.2 wie folgt: Jede Untergruppe
> H vom Index n in G enthält einen Normalteiler vom Index
> höchstens n! in G.
>
>
> Hinweis zur Aufgabe: Wenden Sie Lemma 3.2 auf die Operation
> aus Aufgabe 4.1 an.
>
> Aufgabe 2.2 war: Beweisen Sie: jede Untergruppe H vom Index
> 2 einer Gruppe G ist Normalteiler.
>
> Operation aus Aufgabe 4.1: Linksmultiplikation von G auf
> G/H mit G Gruppe und H [mm]\subset[/mm] G Untergruppe.
>
> Lemma 3.2: Die Angabe einer Operation von G auf M ist
> äquivalent zur Angabe eines Gruppenhomomorphismus G [mm]\to[/mm]
> S(M).
> Hallo!
> Mir geht es gerade um das Verständnis der Aufgabe.
>
> Wir sollen also zeigen, dass wenn wir eine Untergruppe H
> mit Index n in G haben enthält diese einen Normalteiler
> N,der höchstens den Index n! in G hat.
>
> Wenn man dies auseinander bröselt:
> "Untergruppe H mit Index n in G": Index [G:H]=n ist die
> Anzahl der Linksnebenklassen, also die Mächtigkeit der
> Menge G/H
> "enthält einen Normalteiler": Ein Normalteiler N ist eine
> Untergruppe. Aber hier ist es doch nicht H, oder?
Kann sein, muss aber nicht.
> Sonst
> würde ja da stehen "ist ein Normalteiler". Also müsste N
> eine Untergruppe von H sein, oder?
Ja.
> Dann würde "vom Index höchstens n! in G" bedeuten: [G:N]
> [mm]\le[/mm] n! mit N NT von H, also es gilt hN=Nh [mm]\forall[/mm] h [mm]\in[/mm] H
> Stimmt das?
Ja. Das $N$ ist sogar, auch wenn aus Deiner Aufgabenstellung nicht hervorgeht, normal in $G$.
>
> Dann zum Hinweis:
> Die Operation "Linksmultiplikation von G auf G/H" sieht
> doch so aus:
> G x G/H [mm]\to[/mm] G/H
> (g,m) [mm]\mapsto[/mm] gm
> oder?
Ja.
> Diese kann ich laut Lemma 3.2 als Gruppenhomomorphismus
> (GHM) G [mm]\to[/mm] S(G/H) darstellen.
> Dabei ist S(G/H) die Menge der Permutationen von G/H.
> Wie sieht denn dann die Abbildung aus?
[mm] $G\ni g\mapsto (G/H\ni m\mapsto gm)\in [/mm] S(G/H)$ 
> Was wird also aus einem g [mm]\in[/mm] G?
Aus dem Gruppenelement $g$ wird eine Permutation von $G/H$.
> Vorher wird es einfach an
> eine Linksnebenklasse von H von links dran multipliziert.
> Das müsste ja auch so bleiben, aber nun haben wir links
> nicht mehr G x G/H sondern nur G stehen.
> Das verwirrt mich! :-/
>
> Kann hier mal jemand drüber schauen, mich verbessern und
> mir auf die Sprünge helfen?
Im Zusammenhang mit Gruppenoperationen gibt es immer einen besonderen Normalteiler, naemlich den Kern der Operation. Dies ist der Kern des obigen Homomorphismuses [mm] $G\to [/mm] S(G/H)$. Dieser Normalteiler sollte alle Deine Wuensche erfuellen.
> Das wäre super!
> Grüßle, Lily
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> Im Zusammenhang mit Gruppenoperationen gibt es immer einen
> besonderen Normalteiler, naemlich den Kern der Operation.
> Dies ist der Kern des obigen Homomorphismuses [mm]G\to S(G/H)[/mm].
> Dieser Normalteiler sollte alle Deine Wuensche erfuellen.
Danke erstmal für deine Hilfe! 
Das mit dem Kern klingt logisch, aber auch nach einigem hin und her drehen komme ich einfach nicht drauf, warum der Index vom Kern in G, also [G:ker] höchstens n! sein kann :-/
folgende Ansätze habe ich schon probiert:
- wir wissen, dass |S(G/H)|=n!, da |G/H|=n und [mm] |S_{n}|=n!
[/mm]
- Umstellung der Gleichung [mm] [G:N]\le [/mm] n!
aber irgendwie kam ich noch auf nichts handfestes!
Kannst du (oder sonst jemand) mir nochmal helfen?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 Fr 29.11.2013 | | Autor: | hippias |
Wo lebt denn [mm] $Bild(\phi)$? [/mm] Was hat das Bild ordnungsmaessig mit der Faktorgruppe zu tun?
Du hast alles was Du brauchst schon hingeschrieben; Du brauchst es nur noch in die richtige Reihenfolge zu bringen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:47 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Mathe-Lily |
achsooo!! Danke vielmals!!!
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