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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:31 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei G Gruppe, $ N [mm] \trianglelefteq [/mm] G$ mit der Eigenschaft: Ist $H [mm] \leq [/mm] G$ und $N [mm] \subset [/mm] H$ so ist $H = G$ oder $H=N$
Seien nun [mm] $H_1,H_2 \leq [/mm] G$ mit [mm] $H_1 \not= \{1\} \not= H_2$ [/mm] und [mm] $H_1 \cap [/mm] N = [mm] H_2 \cap{N} =\{1\}$. [/mm] Zeigen Sie: [mm] $H_1 \cong H_2$ [/mm] |
Hallo,
ich würde mich freuen, wenn jemand meine Lösung kontrollieren könnte:
Nach dem 1. Isomorphiesatz für Gruppen ist [mm] $H_{i}N \leq [/mm] G$ mit $N [mm] \trianglelefteq H_{i}N$. [/mm] Also muss nach der Maximalitätsforderung an N aus der Voraussetzung [mm] $H_{i}N [/mm] =G$ gelten, denn wäre [mm] $H_{i}N [/mm] = N$ so wäre entweder [mm] $H_{i} [/mm] = [mm] \{1\}$ [/mm] oder [mm] $H_{i} \cap{N} \not=\{1\}$.
[/mm]
Also: [mm] $H_{i}N [/mm] = G$, damit ist auch [mm] $H_{i}N \cong [/mm] G [mm] \Rightarrow H_{i}N/N \cong [/mm] G/N$
Nach dem Isomorphiesatz ist [mm] $H_{i}N/N \cong H_{i}/(H_{i} {\cap}N) [/mm] = [mm] H_i$, [/mm] da [mm] $H_{i} \cap{N} [/mm] = [mm] \{1\}$. [/mm] Damit ist also [mm] H_1 \cong [/mm] G/n [mm] \cong H_2$
[/mm]
Stimmt das?
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 01.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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