Normalvektor der Ebene angeben < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Do 28.11.2013 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Geben Sie einen Normalenvektor der folgenden Ebene an
[mm] E\colon (s,t)\to \begin{pmatrix}3\\1\\8\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}+t\,\begin{pmatrix}8\\4\\3\end{pmatrix}.
[/mm]
Wählen Sie eine Antwort:
[mm] \vec{\nu}=\begin{pmatrix}-4, 8, 5\end{pmatrix}^T
[/mm]
[mm] \vec{\nu}=\begin{pmatrix}5, 4, 8\end{pmatrix}^T [/mm] Richtig
[mm] \vec{\nu}=\begin{pmatrix}5,-4,-8\end{pmatrix}^T
[/mm]
Keiner der gegebenen Vektoren steht senkrecht auf der Ebene E
[mm] \vec{\nu}=\begin{pmatrix}-5, -8, -4\end{pmatrix}^T [/mm] |
Hallo,
ich habe die obige Aufgabe gestellt und komme damit nicht ganz klar.
Habe zwar viel über Vektoren im Buch gelesen, aber allein das Wort Normalvektor ist mir schon fremd. Ist damit der normierte Vektor gemeint ?
Wie gehe ich da vor ?
Hat das was mit dem Skalarprodukt, Kreuzprodukt oder dem Spat zu tun ?
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Hallo,
> Geben Sie einen Normalenvektor der folgenden Ebene an
> [mm]E\colon (s,t)\to \begin{pmatrix}3\\1\\8\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}+t\,\begin{pmatrix}8\\4\\3\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Wählen Sie eine Antwort:
> [mm]\vec{\nu}=\begin{pmatrix}-4, 8, 5\end{pmatrix}^T[/mm]
>
> [mm]\vec{\nu}=\begin{pmatrix}5, 4, 8\end{pmatrix}^T[/mm] Richtig
> [mm]\vec{\nu}=\begin{pmatrix}5,-4,-8\end{pmatrix}^T[/mm]
> Keiner der gegebenen Vektoren steht senkrecht auf der
> Ebene E
> [mm]\vec{\nu}=\begin{pmatrix}-5, -8, -4\end{pmatrix}^T[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> ich habe die obige Aufgabe gestellt und komme damit nicht
> ganz klar.
>
> Habe zwar viel über Vektoren im Buch gelesen, aber allein
> das Wort Normalvektor ist mir schon fremd. Ist damit der
> normierte Vektor gemeint ?
Nein. Mit normal meint man in der Geometrie das gleiche wie mit orthogonal, also einfach: rechtwinklig. Ein Normalenvektor einer Ebene steht also auf dieser Ebene rechtwinklig und damit insbesondere auf ihren beiden Richtungsvektoren und beschreibt (im [mm] \IR^3) [/mm] die 'Richtung' einer Ebene eindeutig.
>
> Wie gehe ich da vor ?
>
> Hat das was mit dem Skalarprodukt, Kreuzprodukt oder dem
> Spat zu tun ?
Mit dem Spat nicht. Man kann hier sowohl mit dem Skalar- als auch mit dem Kreuzprodukt arbeiten, wobei letzteres viel einfacher ist (überlege, weshalb!). Dritte Alternative wäre es, die Ebenengleichung als LGS auszuschreiben, die beiden Parameter s und t durch Äquivalenzumformungen zu eliminieren und so zu einer Koordinatengleichung der Ebene zu kommen. Diese hat ja die Form
E: [mm] ax_1+bx_2+cx_3=d
[/mm]
und die Koeefizienten der linken Seite bilden zusammen einen Normalenvektor von E, also
[mm] \vec{n}=\vektor{a \\ b \\ c}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Do 28.11.2013 | | Autor: | Smuji |
vielen dank erstmal.
also letzteres ist mir ein wenig zu hoch.
meine frage ist,,, eine ebene wird doch normalerweise von 2 vektoren aufgespannt. für was haben die dort 3 angegeben ?
wenn das skalarprodukt = 0 ist, stehen 2 vektoren aufeinander
wenn das spatprodukt = 0 bedeutet die vetoren sind komplanar.... liegen in einer ebene.
für mich bedeutet der satz: Geben Sie einen Normalenvektor der folgenden Ebene an.
dass ich einen vektor nennen/angeben soll, der zu den 3 vektoren die die ebene aufspannen, orthogonal ist ?!?
wie kann er aber zu 3 vektoren zeitgleich einen winkel von 90° bilden ?
eigentlich nur, wenn er in der 3. dimension/räumlich auf ihnen steht, oder ?
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Hallo nochmal,
> vielen dank erstmal.
>
> also letzteres ist mir ein wenig zu hoch.
>
>
> meine frage ist,,, eine ebene wird doch normalerweise von 2
> vektoren aufgespannt. für was haben die dort 3 angegeben
> ?
Das ist ein sog. "Aufpunkt", also der Ortsvektor eines beliebigen Punkts der Ebene, sowie zwei Richtungsvektoren.
Ohne den Aufpunkt wäre die Ebene nicht vollständig beschrieben, da ja jede zu ihr parallele Ebene die gleichen Richtungsvektoren hat (bzw. haben könnte).
> wenn das skalarprodukt = 0 ist, stehen 2 vektoren
> aufeinander
Richtig, wenn Du noch das Wort "senkrecht" einfügst. 
> wenn das spatprodukt = 0 bedeutet die vetoren sind
> komplanar.... liegen in einer ebene.
Für das Spatprodukt braucht man drei Vektoren.
> für mich bedeutet der satz: Geben Sie einen Normalenvektor
> der folgenden Ebene an.
>
>
> dass ich einen vektor nennen/angeben soll, der zu den 3
> vektoren die die ebene aufspannen, orthogonal ist ?!?
Nein, nur zu den beiden Richtungsvektoren.
Dazu ist das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) nützlich, aber wie schon von Diophant gesagt, geht hier auch das Skalarprodukt.
> wie kann er aber zu 3 vektoren zeitgleich einen winkel von
> 90° bilden ?
Eben. Diese Frage stellt sich hier aber gar nicht.
> eigentlich nur, wenn er in der 3. dimension/räumlich auf
> ihnen steht, oder ?
Das sowieso. Gesucht ist ein Vektor, der auf beiden Richtungsvektoren senkrecht steht.
Grüße
reverend
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Hallo Smuji,
> Geben Sie einen Normalenvektor der folgenden Ebene an
> [mm]E\colon (s,t)\to \begin{pmatrix}3\\1\\8\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}+t\,\begin{pmatrix}8\\4\\3\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Wählen Sie eine Antwort:
> [mm]\vec{\nu}=\begin{pmatrix}-4, 8, 5\end{pmatrix}^T[/mm]
>
> [mm]\vec{\nu}=\begin{pmatrix}5, 4, 8\end{pmatrix}^T[/mm] Richtig
Warum steht hier "Richtig"? Diese Lösung ist falsch.
> [mm]\vec{\nu}=\begin{pmatrix}5,-4,-8\end{pmatrix}^T[/mm]
> Keiner der gegebenen Vektoren steht senkrecht auf der
> Ebene E
> [mm]\vec{\nu}=\begin{pmatrix}-5, -8, -4\end{pmatrix}^T[/mm]
Diese Lösung ist richtig.
Ansonsten hat Diophant Dir ja schon ausführlich geantwortet.
Grüße
reverend
> Hallo,
>
>
> ich habe die obige Aufgabe gestellt und komme damit nicht
> ganz klar.
>
> Habe zwar viel über Vektoren im Buch gelesen, aber allein
> das Wort Normalvektor ist mir schon fremd. Ist damit der
> normierte Vektor gemeint ?
>
> Wie gehe ich da vor ?
>
> Hat das was mit dem Skalarprodukt, Kreuzprodukt oder dem
> Spat zu tun ?
>
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> Habe zwar viel über Vektoren im Buch gelesen, aber allein
> das Wort Normalvektor ist mir schon fremd. Ist damit der
> normierte Vektor gemeint ?
Smuji,
ich verstehe das einfach nicht...
Da in Deinem Buch offenbar etwas über Vektoren stand, wird es nicht "Effi Briest" gewesen sein.
Wir dürfen also von einem Mathebuch, welches die Grundlagen der Vektorrechnung behandelt, ausgehen.
Da wird doch dringestanden haben, was mit "Normalvektor/Normalenvektor" der Ebene gemeint ist":
ein Vektor, der orthogonal zur Ebene ist.
Ich könnte begreifen, wenn Du nun beispielsweise fragen würdest: muß der immer normiert sein.
Aber daß nach Studium eines Buches der Begriff als solcher noch fremd ist - darf einfach nicht sein.
Es deutet daraufhin, daß an Deiner Arbeitsweise etwas nicht stimmt.
Ich sage das nicht, um Dich zu ärgern, sondern um Dich daraufhinzuweisen, daß Du Deine Arbeitsweise umstellen mußt, wenn Du Erfolg haben möchtest. Sonst machst Du bei Aufgabenstellungen, die geringfügig von den gelernten abweichen, eine Bauchlandung.
> Wie gehe ich da vor ?
>
> Hat das was mit dem Skalarprodukt, Kreuzprodukt
Schau: Du hattest doch eine nebulöse Ahnung davon, daß Normalenvektor etwas mit "orthogonal" zu tun hat.
Die sinnvolle Vorgehensweise an dieser Stelle wäre
- herausfzuinden, was der Normalenvektor mit der Ebene zu tun hat,
- herauszufinden, was das Skalarprodukt mit "orthogonal" zu tun hat,
- herauszufinden, was das Kreuzprodukt mit orthogonal zu tun hat,
- anschließend Versuche zur Lösung der Aufgabe,
- bei Unklarheiten nachfragen im Matheraum.
LG Angela
> oder dem
> Spat zu tun ?
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Do 28.11.2013 | | Autor: | Smuji |
liebe angela.... es kann sein dass es sogar vllt drinnen steht,
aber wenn man sich innerhalb kürzester zeit themen wie vektorrechnung, mengenlehre, logik, matrizen und und und beibringen muss und allein nur die vektorrechnung aus 130+ seiten besteht und ähnlich viele bei anderen themen und man neben mathe auch noch andere gebiete/fächer hat, die man lernen muss, dann kann es doch mal passieren, dass nicht gleich alles hängen bleibt, was man liest.
zumal es ja mit nur durchlesen nicht getan ist, man muss alles verstehen....
ich habe mir jetzt nochmal die entsprechenden seiten im buch rausgesucht und werde sie nochmal durchlesen und dann nochmal versuchen die aufgabe zu rechnen..
die lösung des dozenten ist Die richtige Antwort lautet: [mm] \vec{\nu}=\begin{pmatrix}5,-4,-8\end{pmatrix}^T
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Do 28.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Smuji,
> liebe angela.... es kann sein dass es sogar vllt drinnen
> steht,
>
> aber wenn man sich innerhalb kürzester zeit themen wie
> vektorrechnung, mengenlehre, logik, matrizen und und und
> beibringen muss und allein nur die vektorrechnung aus 130+
> seiten besteht und ähnlich viele bei anderen themen und
> man neben mathe auch noch andere gebiete/fächer hat, die
> man lernen muss, dann kann es doch mal passieren, dass
> nicht gleich alles hängen bleibt, was man liest.
Ja, das ist leider eine ganz fatale Tendenz heutzutage, dass man mit viel zu viel und teilweise unsinnigem Stoff (natürlich nicht die Mathematik!) zugeballert wird, da ist gründliches Arbeiten teilweise wirklich nicht mehr möglich.
Wenn ich mir vorstelle, dass ich so in der Zeit von der 10. bis zur 12. Klasse 3-5 Stunden täglich Geige geübt habe, dann frage ich mich manchmal, wo heutzutage noch Berufmusiker herkommen sollen, wenn ich die Stundenpläne meiner Nachhilfeschüler sehe.
Um den Bogen wieder zurück zu schlagen: wie bei der Geige ist es beim Erlernen von Mathematik essentiell wichtig, dass man das möglichst regelmäßig macht. Lerne also am besten täglich etwas, anstatt einmal die Woche mehrere Stunden. Das wird für die Mathematik auf jeden Fall effizienter sein (für andere Fächer mag es anders aussehen).
> zumal es ja mit nur durchlesen nicht getan ist, man muss
> alles verstehen....
>
> ich habe mir jetzt nochmal die entsprechenden seiten im
> buch rausgesucht und werde sie nochmal durchlesen und dann
> nochmal versuchen die aufgabe zu rechnen..
>
>
>
> die lösung des dozenten ist Die richtige Antwort lautet:
> [mm]\vec{\nu}=\begin{pmatrix}5,-4,-8\end{pmatrix}^T[/mm]
Ja, die stimmt auch. Ich hatte mich weiter oben leider auch verrechnet. Viel Erfolg weiterhin und: nicht aufgeben!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 01.12.2013 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Geben Sie einen Normalenvektor der folgenden Ebene an
$ [mm] E\colon (s,t)\to \begin{pmatrix}3\\1\\8\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}+t\,\begin{pmatrix}8\\4\\3\end{pmatrix}. [/mm] $ |
So, ich habe mir jetzt nochmal ein paar Seiten im Buch durchgelesen. Die einen waren verständlich, die anderen weniger.
So wie ich jetzt die Aufgabe interpretiere/verstehe, beudetet sie
Es ist eine Ebene in der 3-punkt-form gegeben, die durch den Punkt (3,1,8) verläuft und der laufende punkt dieser ebene wird gegeben durch ein vielfaches (4,3,1) und (8,4,3) , das sind also sozusagen die schenkel oder eher gesagt richtungsvektoren..
nun ist der normalenvektor gesucht, welche auf dem punkt steht und orthogonal zu den beiden in der ebene liegenden vektoren ist.
erzeugtn icht das kreuzprodukt dieser 2 vektoren den orthogonalen vektor ? also den vektor der senkrecht auf der ebene liegt ?
demnach wäre das kreuzprodukt aus beiden vektoren.....
5
-4
-8
und da die möglichen ergebnisse zeilenvektoren sind, muss ich das ergebnis einfach transponieren....
5 -4 -8
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Hallo Smuji,
> Geben Sie einen Normalenvektor der folgenden Ebene an
> [mm]E\colon (s,t)\to \begin{pmatrix}3\\1\\8\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}+t\,\begin{pmatrix}8\\4\\3\end{pmatrix}.[/mm]
>
> So, ich habe mir jetzt nochmal ein paar Seiten im Buch
> durchgelesen.
Klingt gut.
> Die einen waren verständlich, die anderen
> weniger.
Klingt nicht gut.
> So wie ich jetzt die Aufgabe interpretiere/verstehe,
> beudetet sie
>
> Es ist eine Ebene in der 3-punkt-form gegeben, die durch
> den Punkt (3,1,8) verläuft und der laufende punkt dieser
> ebene wird gegeben durch ein vielfaches (4,3,1) und (8,4,3)
> , das sind also sozusagen die schenkel oder eher gesagt
> richtungsvektoren..
>
>
> nun ist der normalenvektor gesucht, welche auf dem punkt
> steht und orthogonal zu den beiden in der ebene liegenden
> vektoren ist.
Es ist völlig egal, auf welchem Punkt der Ebene der Normalenvektor steht. Er ist überall gleich, bis auf Größenveränderung durch Skalierung.
> erzeugtn icht das kreuzprodukt dieser 2 vektoren den
> orthogonalen vektor ? also den vektor der senkrecht auf der
> ebene liegt ?
1) Ja. 2) Steht, nicht liegt. Versuch mal, senkrecht auf jemandem zu liegen. 
> demnach wäre das kreuzprodukt aus beiden vektoren.....
> 5
> -4
> -8
Das Kreuzprodukt ist auch ein Vektor. Und Du weißt offenbar, wie man die schreibt, siehe oben.
> und da die möglichen ergebnisse zeilenvektoren sind,
Ähm, Südbahnhof? Oder eine andere Sorte Katzenfutter?
Jedenfalls nicht Rokoko. Falsches Wetter.
> muss ich das ergebnis einfach transponieren....
Ja, am besten nach c#-moll (4 Kreuze).
> 5 -4 -8
Quatsch. Was soll das?
Grüße
reverend
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